Ðề thi tuyển sinh Đại học môn Toán năm 2005 - Dự bị 1 khối A

Nội dung text: Ðề thi tuyển sinh Đại học môn Toán năm 2005 - Dự bị 1 khối A

1. Nguy n Qu ỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng V ươ ng - Phú Th s ưu t m & gi i thi u ð THI TUY N SINH ð I H C MƠN TỐN N ĂM 2005 D B 1 KH I A Câu I : (2 đ) x2+2 mx + 1 − 3 m 2 Gi (C m) là đ th c a hàm s : y = (*) (m là tham s ) x− m 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (*) ng v i m = 1. 2. Tìm m đ hàm s (*) cĩ hai đim c c tr n m v hai phía tr c tung. Câu II : ( 2 đim) x2+ y 2 ++ xy = 4 1. Gi i h ph ươ ng trình :  xxy(+++ 1) yy ( += 1) 2 2. Tìm nghi m trên khong (0; π ) c a ph ươ ng trình : x 3π 4sin2 − 3cos2x =+ 1 2cos(2 x − ) . 2 4 Câu III : (3 đim) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho tam giác ABC cân t i đ nh A cĩ tr ng tâm 4 1 G ( ; ) , ph ươ ng trình đưng th ng BC là x−2 y − 4 = 0 và ph ươ ng trình đưng th ng BG 3 3 là 7x− 4 y − 80 = . Tìm t a đ các đ nh A, B, C. 2. Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho 3 đim A(1;1;0), B(0; 2; 0), PC(0; 0; 2) . a) Vi t ph ươ ng trình m t ph ng (P) qua g c t a đ O và vuơng gĩc v i BC.Tìm t a đ giao đim c a AC v i m t ph ng (P). b) Ch ng minh tam giác ABC là tam giác vuơng. Vi t ph ươ ng trình m t c u ng ai ti p t di n OABC. Câu IV : ( 2 đim) π 3 1. Tính tích phân: I = ∫ sin2 x .tan x d x . 0 2. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ th l p đưc bao nhiêu s t nhiên, m i s g m 6 ch s khác nhau và t ng các ch s hàng ch c, hàng tr ăm, hàng ngàn b ng 8. Câu V : (1 đim) Cho x, y, z là ba s th a mãn x + y + z = 0. Chng minh rng : 34++x 34 + y + 346 +≥ z . 1
2. Nguy n Qu ỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng V ươ ng - Phú Th s ưu t m & gi i thi u ð THI TUY N SINH ð I H C MƠN TỐN N ĂM 2005 D B 2 KH I A Câu I : (2 đim) x2 + x + 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C ) c a hàm s y = . x +1 2. Vi t ph ươ ng trình đưng th ng đi qua đim M (- 1; 0) và ti p xúc v i đ th ( C ) . Câu II :( 2 đim)  2xy++− 1 xy + = 1 1. Gi i h ph ươ ng trình :  3x+ 2 y = 4 π 2. Gi i ph ươ ng trình : 2 2 cos3 (x−− ) 3cos x − sin x = 0 . 4 Câu III : (3 đim) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đưng trịn 2 2 (C): x + y −12x − 4 y + 36 = 0 . Vi t ph ươ ng trình đưng trịn (C 1) ti p xúc v i hai tr c t a đ Ox, Oy đ ng th i ti p xúc ngồi v i đưng trịn (C). 2. Trong khơng gian v i h t a đ ðêcac vuơng gĩc Oxyz cho 3 đim A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm t a đ đim B thu c m t ph ng Oxy sao cho t giác OABC là hình ch nh t. Vi t ph ươ ng trình m t c u qua 4 đim O, B, C, S. b) Tìm t a đ đim A 1 đi x ng v i đim A qua đưng th ng SC. Câu IV : ( 2 đim) 7 x + 2 1. Tính tích phân: I = dx . ∫ 3 0 x +1 2. Tìm h s c a x 7 trong khai tri n đa th c (2− 3x ) 2n , trong đĩ n là s nguyên d ươ ng th a 1 3 5 21n+ k mãn: CCC21nnn++++ 21 + 21 ++ C 21 n + = 1024. ( Cn là s t h p ch p k c a n ph n t ) Câu V : (1 đim) Ch ng minh r ng v i m i x, y > 0 ta cĩ : y 9 (1+x )(1 + )(1 + )2 ≥ 256 . x y ðng th c x y ra khi nào? 2
3. Nguy n Qu ỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng V ươ ng - Phú Th s ưu t m & gi i thi u ð THI TUY N SINH ð I H C MƠN TỐN N ĂM 2005 D B 1 KH I B Câu I : (2 đim) 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C ) c a hàm s y= x4 −6 x 2 + 5 . 4 2 2. Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ 4 nghi m phân bi t : x−6 x − log2 m = 0 . Câu II : (2 đim)  2xy++− 1 xy + = 1 1. Gi i h ph ươ ng trình :  3x+ 2 y = 4 π 2. Gi i ph ươ ng trình : 2 2 cos3 (x−− ) 3cos x − sin x = 0 . 4 Câu III : (3 đim) x2 y 2 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho elip (E) : + = 1. Vi t ph ươ ng trình ti p 64 9 tuy n d c a (E) bi t d c t hai hai tr c t a đ Ox, Oy l n l ưt t i A, B sao cho AO = 2BO. x y z 2. Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho hai đưng th ng d : = = và 1 1 1 2 x= −1 − 2 t  d2 :  y= t ( t là tham s ).  z=1 + t a) Xét v trí t ươ ng đi c a d 1 và d 2 . b) Tìm t a đ các đim M thu c d 1 và N thu c d 2 sao cho đưng th ng MN song song v i mt ph ng (P) : x− y + z = 0 và đ dài đan MN b ng 2 . Câu IV : ( 2 đim) e 1. Tính tích phân: I = ∫ x2 ln x d x . 0 2. Mt đ v ăn ngh cĩ 15 ng ưi g m 10 nam và 5 n . H i cĩ bao nhiêu cách l p m t nhĩm đng ca g m 8 ng ưi bi t r ng trong nhĩm đĩ phi cĩ ít nh t 3 n . Câu V : (1 đim) 3 Cho a, b, c là ba s d ươ ng th a mãn : a + b + c = . Chng minh rng : 4 3ab++3 3 bc ++ 3 3 ca + 33 ≤ . Khi nào đng th c x y ra ? 3
4. Nguy n Qu ỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng V ươ ng - Phú Th s ưu t m & gi i thi u ð THI TUY N SINH ð I H C MƠN TỐN N ĂM 2005 D B 2 KH I B Câu I : (2 đim) x2 +2 x + 2 Cho hàm s : y = (*) x +1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C ) c a hàm s (*) . 2. G i I là giao đim c a hai ti m c n c a ( C ).Ch ng minh r ng khơng cĩ ti p tuy n nào ca (C ) đi qua đim I . Câu II:( 2 đim) 1. Gi i b t ph ươ ng trình : 8x2 − 6 x +− 14 x +≤ 10 . π cos 2x − 1 2. Gi i ph ươ ng trình : tan(+x ) − 3tan 2 x = . 2 cos 2 x Câu III : (3 đim) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho hai đưng trịn : 2 2 2 2 (C 1 ): x + y = 9 và (C 2 ): x + y −2x − 2 y − 23 = 0 . Vi t ph ươ ng trình tr c đ ng ph ươ ng d ca hai đưng trịn (C 1) và (C 2). Ch ng minh r ng n u K thu c d thì kh ang cách t K đ n tâm ca (C 1) nh h ơn kh ang cách t K đ n tâm c a ( C 2 ). 2. Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho đim M(5;2; - 3) và m t ph ng (P) cĩ ph ươ ng trình 22x+ y −+= z 10 . a) Gi M 1 là hình chi u c a M lên m t ph ng ( P ). Xác đ nh t a đ đim M 1 và tính đ dài đan MM 1. x-1 y-1 z-5 b) Vi t ph ươ ng trình m t ph ng ( Q ) đi qua M và ch a đưng th ng : = = 2 1 -6 Câu IV : ( 2 đim) π 4 1. Tính tích phân: I = ∫ (tanxe+ sin x cos xx )d . 0 2. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ th l p đưc bao nhiêu s t nhiên, m i s g m 5 ch s khác nhau và nh t thi t ph i cĩ 2 ch 1, 5 ? Câu V : (1 đim) Chng minh rng n u 0≤y ≤ x ≤ 1 thì: 1 x y− yx ≤ . 4 ðng th c x y ra khi nào? 4
5. Nguy n Qu ỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng V ươ ng - Phú Th s ưu t m & gi i thi u ð THI TUY N SINH ð I H C MƠN TỐN N ĂM 2005 D B 1 KH I D Câu I : (2 đim) 3 2 Gi (C m) là đ th c a hàm s y= – x + ( 2m + 1) x – m – 1 (1) (m là tham s ). 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. 2) Tìm m đ đ th (C m) ti p xúc v i đưng th ng y = 2mx – m – 1. Câu II :( 2 đim) 1. Gi i b t ph ươ ng trình : 275x+− −≥ x 32 x − 3π sin x 2. Gi i ph ươ ng trình : tan(−x ) + = 2 2 1+ cos x Câu III : (3 đim) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đưng trịn (C): x 2 + y 2 −4x − 6 y − 12 = 0 . Tìm ta đ đim M thu c đưng th ng d : 2x− y + 3 = 0 sao cho MI = 2R , trong đĩ I là tâm và R là bán kính c a đưng trịn (C). 2. Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho l ăng tr đ ng OAB.O 1A1B1 v i A(2;0;0), B(0; 4; 0), O 1(0; 0; 4) a) Tìm t a đ các đim A 1, B 1. Vi t ph ươ ng trình m t c u qua 4 đim O, A, B, O 1. b) Gi M là trung đim c a AB.Mt ph ng ( P ) qua M vuơng gĩc v i O 1A và c t OA, OA 1 ln l ưt t i N, K . Tính đ dài đon KN. Câu IV : ( 2 đim) 3 e ln 2 x 1.Tính tích phân I = ∫ dx . 1 xln x + 1 k k 2. Tìm k ∈{0;1;2; ;2005 } sao cho C2005 đt giá tr l n nh t. ( Cn là s t h p ch p k c a n ph n t ) Câu V : (1 đim) Tìm m đ h ph ươ ng trình sau cĩ nghi m: 72x++ x 1− 7 2 ++ x 1 + 2005x ≤ 2005  . x2 −( m + 2) x + 2 m +≥ 3 0 5
6. Nguy n Qu ỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng V ươ ng - Phú Th s ưu t m & gi i thi u ð THI TUY N SINH ð I H C MƠN TỐN N ĂM 2005 D B 2 KH I D Câu I : (2 đim) x2 +3 x + 3 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y = . x +1 x2 +3 x + 3 2. Tìm m đ ph ươ ng trình = m cĩ 4 nghi m phân bi t . x +1 Câu II :( 2 đim) 2x− x 2 2 − 1  1. Gi i b t ph ươ ng trình : 9x2 x − 2  ≤ 3 . 3  2. Gi i ph ươ ng trình : sin2x+ cos2 x + 3sin x − cos x −= 2 0 . Câu III : (3 đim) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho 2 đim A(0;5), B(2; 3) . Vi t ph ươ ng trình đưng trịn đi qua hai đim A, B và cĩ bán kính R = 10 . 2. Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz cho hình l p ph ươ ng ABCD.A1B1C1D1 v i A(0;0;0), B(2; 0; 0), D 1(0; 2; 2) a) Xác đnh t a đ các đim cịn l i c a hình l p ph ươ ng ABCD.A 1B1C1D1. Gi M là trung đim c a BC . Ch ng minh r ng hai m t ph ng ( AB 1D1) và ( AMB 1) vuơng gĩc vi nhau. b) Ch ng minh r ng t s kh ang cách t đim N thu c đưng th ng AC 1 ( N ≠ A ) t i 2 mt ph ng ( AB 1D1) và ( AMB 1) khơng ph thu c vào v trí c a đim N. Câu IV : ( 2 đim) π 2 1. Tính tích phân: I =∫ (2x − 1)cos2 x d x . 0 2 2 2. Tìm s nguyên n l n h ơn 1 th a mãn đng th c : 26Pn+ A n − PA nn = 12 . k ( P n là s hốn v c a n ph n t và An là s ch nh h p ch p k c a n ph n t ) Câu V : (1 đim) Cho x, y, z là ba s d ươ ng và xyz = 1. Ch ng minh rng: x2 y 2 z 2 3 + + ≥ . 1+y 1 + z 1 + x 2 6