Hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong hình học

Nội dung text: Hướng dẫn học sinh giải các bài toán cực trị trong hình học

1. A/ LÍ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI : Trong quaù trình hoïc toaùn, hoïc sinh gaëp raát nhieàu khoù khaên trong vieäc ñi tìm lôøi giaûi cho moät baøi toaùn hình hoïc, ñaëc bieät laø caùc baøi toaùn hình hoïc coù lieân quan tôùi tìm giaù trò nhoû nhaát, giaù trò lôùn nhaát cuûa moät ñaïi löôïng naøo ñoù. Trong chöông trình saùch giaùo khoa vaø caùc kì thi hoïc sinh gioûi lôùp 7- 8- 9 thöôøng coù caùc baøi toaøn naøy. Caùc baøi toaùn naøy ñöôïc goïi chung laø baøi toaùn cöïc trò. Baøi toaùn cöïc trò trong hình hoïc phaúng raát phong phuù vaø ña daïng, noù coù noäi dung giaùo duïc tö töôûng qua moân toaùn: Ñi tìm phöông aùn toát nhaát, gaén nhaát, daøi nhaát trong moät baøi toaùn nhaèm cuûng coá cho hoïc sinh kó naêng phaân tích moät baøi toaùn hình hoïc noùi chung vaø tìm lôøi giaûi cho baøi toaùn cöïc trò noùi chung. Ñoàng thôøi daàn hình thaønh cho hoïc sinh moät thoùi quen ñi tìm moät giaûi phaùp toái öu cho moät coâng vieäc naøo ñoù trong cuoäc soáng. Coù theå noùi baøi toaùn tìm cöïc trò cuûa hình hoïc laø moät trong nhöõng daïng toaùn khoù, khoù caû veà maët tìm ñöôøng loái giaûi laãn nhöõng khoù khaên trong vieäc vaän duïng kieán thöùc. Do vaäy hoïc sinh thöôøng gaëp khoù khaên trong vieäc ñi tìm lôøi giaûi cuûa caùc baøi toaùn naøy. Coù nhöõng baøi toaùn khoâng bieát phaûi baét ñaàu töø ñaâu, vaän duïng kieán thöùc gì ñaõ hoïc, trình baøy lôøi giaûi baøi toaùn naøy nhö theá naøo? Ñoái vôùi giaùo vieân baøi toaùn cöïc trò laø moät chuû ñeà coù möùc ñoä phoå duïng khoâng cao, khoù vôùi hoïc sinh neân thöôøng hay xem nheï daïng toaùn naøy, thöôøng duøng cho ñoái töôïng hoïc sinh khaù gioûi. Do vaäy vieäc nghieân cöùu, tìm toøi daïng toaùn naøy chöa ñaàu tö thích ñaùng. Qua quaù trình giaûi caùc baøi toaùn naøy baûn thaân toâi ñaõ nghieân cöùu, tìm toøi thu thaäp taøi lieäu saép xeáp caùc quy trình giaûi ñeå phaàn naøo giuùp caùc em hoïc sinh giaûi ñaùp moät soá thaéc maéc treân vaø naém ñöôïc moät soá kieán thöùc ñeå giaûi caùc baøi toaùn loaïi naøy ñoù laø: “ Höôùng daãn hoïc sinh giaûi caùc baøi toaùn cöïc trò trong hình hoïc ” Tuy ñaõ coá gaéng heát mình nhöng do tay ngheà coøn non treû, kinh nghieäm chuyeân moân coøn ít cho neân nhöõng gì toâi ñöa ra khoâng theå traùnh ñöôïc nhöõng thieáu xoùt. Toâi mong quyù caáp, quyù thaày coâ goùp y,ù chæ baûo theâm. Toâi xin thaønh thaät caûm ôn!
2. B/ CÔ SÔÛ LÍ THUYEÁT: I/ Toaùn cöïc trò trong hình hoïc laø gì? Ñoù laø caùc baøi toaùn coù daïng : Tìm giaù trò lôùn nhaát hoaëc giaù trò nhoû nhaát cuûa moät ñaïi löôïng hình hoïc naøo ñoù ( Ñoä daøi cuûa moät ñoaïn thaúng, toång cuûa hai hay nhieàu ñoaïn thaúng, ñoä lôùn cuûa moät goùc, chu vi cuûa moät hình, dieän tích cuûa moät hình ) sao cho y1 HN AM<AN
3. Trong caùc ñoaïn thaúng noái töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng 1 ñoaïn thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng coù ñoä daøi nhoû nhaát . Trong hai ñöôøng xieân keû töø moät ñieåm tôùi moät ñöôøng thaúng, ñöôøng xieân naøo coù hình chieáu lôùn hôn thì lôùn hôn vaø ngöôïc laïi . C 3.Ñoä daøi ñöôøng gaáp khuùc: Ñoä daøi ñöôøng gaáp khuùc noái hai ñieåm khoâng D nhoû hôn ñoä daøi ñoaïn thaúng noái hai ñieåm ñoù. A B AC+CD+DB AB 4.Vaän duïng kieán thöùc trong ñöôøng troøn: +Ñöôøng kính laø daây cung lôùn nhaát trong ñöôøng troøn . +Trong hai daây cung cuûa moät ñöôøng troøn hay trong hai ñöôøng troøn baèng nhau: *Hai daây cung baèng nhau khi vaø chæ khi chuùng coù cuøng khoaûng caùch ñeán taâm *Hai daây cung khoâng baèng nhau khi vaø chæ khi noù gaàøn taâm hôn 5.Vaän duïng caùc baát ñaúng thöùc : a/ Caùc baát ñaúng thöùc: .) x2 0; .) -x2 0; .) (x + y)2 4xy b/Baát ñaúng thöùc Coâsi : a b ab 2 c/Baát ñaúng thöùc Bu nhi a coáp xki : (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2); 6. Vaän duïng quyõ tích ñeå giaûi caùc baøi toaùn cöïc trò : Trong caùc baøi toaùn cöïc trò, thöôøng coù caùc ñieåm di chuyeån treân caùc hình nhaát ñònh. Caùc hình ñoù coù khi ñöôïc cho ngay trong ñeà baøi, coù khi phaûi tìm ra bôûi moät baøi toaùn quyõ tích. 7. Choïn bieán trong baøi toaùn cöïc trò :
4. Trong caùc baøi toaùn cöïc trò giaûi baèng phöông phaùp ñaïi soá ta thöôøng choïn moät ñaïi löôïng laøm bieán cuõng coù tröôøng hôïp phaûi choïn moät ñaïi löôïng thay theá laøm bieán. 8. Bieän luaän trong baøi toaùn cöïc trò : Coù nhöõng baøi toaùn cöïc trò maø moãi mieàn cuûa maët phaúng laïi coù cöïc trò rieâng, khi ñoù ta caàn so saùnh chuùng vôùi nhau ñeå tìm ra cöïc trò chung cuûa baøi toaùn. C. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN AÙP DUÏNG : 1. Baøi toaùn 1: Hai xoùm A vaø B caùch nhau moät con soâng. Tìm ñòa ñieåm baéc caàu ñeå quaõng ñöôøng ñi töø A ñeán B laø ngaén nhaát. Ghi chuù : Hai bôø soâng coù theå coi laø hai ñöôøng thaúng song song d1 // d2 . Ta phaûi tìm ñòa ñieåm baéc caàu sao cho toång quaõng ñöôøng ñi töø A ñeán B laø: AC + CD + DB ngaén nhaát. A */Phaân tích ñöôøng höôùng chöùng minh: d1 C C0 C1 Bieåu thò hai xoùm A vaø B bôûi hai ñieåm A vaø B. hai bôø soâng baèng d2 D D0 C1 hai ñöôøng thaúng song song d1 vaø d2. Ta phaûi tìm ñòa dieåm baéc caàu sao cho toång quaõng ñöôøng ñi töø A ñeán B laø AC + CD + DB laø ngaén nhaát B */ Coù theå trình baøy lôøi giaûi nhö sau : Veõ tia Ax vuoâng goùc vôùi d1 vaø d2 . Laáy ñieåm A’ sao cho AA’ = CD. Noái A’ vôùi D , D vôùi B. Xeùt V A’DB coù : A’B A’D + DB Vì AA’ = CD. AC = A’D. Do ñoù A’B AC + DB . Daáu “ = ” xaûy ra khi vaø chæ khi 3 ñieåm A’, D, B thaúng haøng. / Luùc ñoù D truøng vôùi D0 laø giao ñieåm cuûa A B vôùi d2 C truøng vôùi C0 Vaäy ñòa ñieåm baéc caàu laø C0 D0
5. 2. Baøi toaùn 2 : Treân hai caïch BC, AC cuûa tam giaùc ABC, laáy töông öùng hai ñieåm M vaø N sao cho BM = CN. Tìm vò trí cuûa M ñeå MN coù giaù trò nhoû nhaát. *Höôùng daãn tìm ñöôøng loái giaûi. Ñeå MN nhoû nhaát ta phaûi so saùnh MN vôùi moät ñoaïn thaúng keû töø M sao cho MN lôùn hôn hoaëc baèng ñoaïn thaúng ñoù Ta lieân töôûng ñeán ñöôøng xieân vaø ñöôøng vuoâng goùc haï töø moät ñieåm naøo ñoù ñeán moät ñöôøng thaúng. Do ñoù ta taïo ra moät ñöôøng vuoâng goùc haï töø M sao cho chaân ñöôøng vuoâng goùc vaø ñieåm N phaûi naèm treân moät ñöôøng thaúng. Muoán vaäy töø M vaø N ta keû hai ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB. Töø ñoù keû MG vuoâng goùc vôùi NH. Ta so saùnh MN vôùi vôùi MG vaø moái lieân quan vôùi HK. Ta so saùnh MN vôùi KH, do ñoù phaûi tính KH. * Coùtheå trình baøy lôøi giaûi nhö sau : Töø M vaø N keû MH; NK A Töø M vaø N keû MH, NK cuøng vuoâng goùc vôùi AB H vaø MG NH. Ta coù töù giaùc MGHK laø hình chöõ nhaät( töù G N giaùc coù 3 goùc vuoâng) MG=KH B C Maø MN MG M Neân MN KH Ta laïi coù : V AHN vaø V BKM laø nhöõng tam giaùc vuoâng, coù 1 goùc nhoïn baèng 600 1 AH=AN 2 1 Vaø BK BM 2 Do ñoù : KH AB (AH BK) 1 1 AB ( AN BM ) 2 2 1 Vì : BM CN KH AB (AN CN) 2 AC AB AB ( vì AC=AB) 2 2 AB Vì: MN KH MN 2 AB Min(MN) 2 Vaäy MN nhoû nhaát khi MN laø ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc ABC.
6. 3.Baøi toaùn 3: Cho hình vuoâng ABCD vaø moät töù giaùc MNPQ coù 4 ñænh thuoäc 4 caïnh cuûa hình vuoâng. Tìm ñieàøu kieän ñeå töù giaùc MNPQ coù chu vi nhoû nhaát? */ Phaân tích ñöôøng loái giaûi Chu vi töù giaùc MNPQ coù chu vi M nhoû nhaát khi MN+NP+PQ+QM nhoû nhaát A B Ta coù MN; PN; PQ; QM laø caùc J caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng MBN; NPC; DQP; QMA Q I N Ta phaûi lieân töôûng ñeán ñöôøng K trung tuyeán trong tam giaùc vuoâng D P C Ta phaûi taïo ra caùc ñöôøng trung tuyeán cuûa caùc tam giaùc. Ñoái vôùi NP vaø MQ ta tìm moái lieân quan cuûa chuùng vôùi ñöôøng trung bình. Töø ñoù thay chu vi cuûa töù giaùc MNPQ baúng toång cuûa 4 ñoaïn thaúng laø moät ñöôøng gaáp khuùc vaø nhoû nhaát khi ñöôøng gaáùp khuùc ñoù laø moät ñoaïn thaúng. */ Trình baøy lôøi giaûi nhö sau: Goïi I, J, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa cuûa NQ, MN, PQ. Aùp duïng tính chaát cuûa ñöôøng trung tuyeán thuoäc caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng ta coù : MN= 2BJ; PQ= 2DK; Aùp duïng tính chaát cuûa ñöôøng trung bình trong tam giaùc ta coù: PN= 2IK ; QM= 2IJ ; Do ñoù chu vi töù giaùc MNPQ laø: MN+ NP+ PQ+ QM = 2(BI+ JI+ IK+ KD) Maø : BI+ JI+ IK+ KD AD Neân: MN+ NP+ PQ+ QM 2AD. Vaäy chu vi cuûa töù giaùc MNPQ nhoû nhaát baèng 2AD Luùc ñoù: MN // AC // PQ Vaø: MQ // BD // NP Hay khi ñoù töù giaùc MNPQ laø hình chöõ nhaät 4. Baøi toaùn 4: Cho ñöôøng troøn taâm O vaø ñieåm M naèm trong ñöôøng troøn( M khoâng truøng vôùi O ) 1/ Qua M döïng daây AB sao cho ñoä daøi cuûa noù: a/ Lôùn nhaát b/ Nhoû nhaát 2/ Döïng ñieåm P treân ñöôøng troøn sao cho O¼PM lôùn nhaát? *) Phaân tích höôùng chöùng minh: Caâu 1:
7. a/ Söû duïng tính chaát trong ñöôøng troøn: “ Ñöôøng kính laø daây cung lôùn nhaát “ b/ Daây Ab nhoû nhaát khi khoaûng caùch töø AB ñeán O phaûi lôùn nhaát, do ñoù ta phaûi tìm vò trí cuûa AB sao cho xa taâm nhaát ! Caâu 2: P P A M O H O H Q Q B O¼PM lôùn nhaát maø PM keùo daøi seõ laø daây cung cuûa ñöôøng troøn taâm O. do ñoù laø goùc ñaùy cuûa tam giaùc caân ôû taâm O. Ta phaûi lí luaän goùc ôû taâm O ñoù phaûi nhoû nhaát, ta lieân töôûng ñeán cung bò chaén phaûi nhoû nhaát, do ñoù daây chaén cung ñoù seõ phaûi nhoû nhaát. *) Lôøi giaûi nhö sau: caâu 1: +)Döïng ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm O ñi qua ñieåm M. Ta coù daây AB laø daây qua M lôùn nhaát. +) Giaû söû AB laø moät daây cung baáùt kì ñi qua M. Keû OH AB, AB ngaén nhaát khi vaø chæ khi OH daøi nhaát. Xeùt V OHM ( vuoâng taïi H) ta luoân coù: OH OM Neân OH lôùn nhaát khi vaø chæ khi H truøng vôùi M Vaäy daây AB nhoû nhaát khi AB vuoâng goùc vôùi OM taïi M Caâu 2 : Giaû söû PQ laø daây cung baát kì ñi qua M V OPQ caân taïi O neân P¼OM lôùn nhaát khi P¼OQ nhoû nhaát. Maø: Khi P¼OQ laø goùc ôû taâm, neân P¼OQ nhoû nhaát khi vaø chæ khi : PQ lôùn nhaát. PQ  OM taïi M. +Döïng OM: - Qua M döïng PQ vuoâng goùc vôùi OM. - Ta coù P¼OQ lôùn nhaát. 5. Baøi toaùn 5: Trong caùc tam giaùc vuoâng coù toång hai caïnh goùc vuoâng khoâng ñoåi, tam giaùc vuoâng naøo coù chu vi beù nhaát ?
8. *) Phaân tích höôùng giaûi : +Ñeå chu vi cuûa tam giaùc nhoû nhaát thì toång caùc caïnh cuûa noù phaûi nhoû nhaát Maø toång hai caïnh cuûa goùc vuoâng khoâng ñoåi neân caïnh huyeàn phaûi nhoû nhaát Ta xeùt tôùi moái quan heä giöõa hai caïnh goùc vuoâng ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa caïnh huyeàn. *) Baøi giaûi chi tieát: Chu vi V ABC laø: a + b + c; Vì b + c coù giaù trò khoâng ñoåi Vaäy chu vi V ABC nhoû nhaát khi a nhoû nhaát . Ñaët b + c = 2m ( khoâng ñoåi ) Suy ra : Neáu b = m + x Thì : c = m –x Theo ñònh lí Pitago thì : a2 = b2 + c2 a2 = ( m + x )2 + ( m - x)2 a2= m2 + 2mx + x2 +m2 – 2mx +x2 a2= 2m2 + 2x2 a2= 2( m2 + x2 ) Vì x2 0 2( m2 + x2 ) 2m2 Neân a2 = 2( m2 + x2 ) = 2m2 Khi x2= 0 x = 0 b = c Vaäy chu vi cuûa tam giaùc ABC nhoû nhaát khi tam giaùc ñoù vuoâng. D. MOÄT SOÁ BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ THAM KHAÛO Baøi toaùn 1 ( lôùp 8 ):Cho goùc xOy vaø moät ñieåm M naèm trong goùc xOy. Döïng ñöôøng thaúng ñi qua M caét Ox taïi A, caét Oy taïi B sao cho toång OA + OB coù giaù trò nhoû nhaát? Baøi toaùn 2( lôùp 7):Hai coâng tröôøng A vaø B ôû cuøng moät phía cuûa bôø soâng. Tìm choã ñaët beán caûng ôû ñaâu ñeå toång quaõng ñöôøng töø beán caûng ñeán hai coâng tröôøng laø ngaén nhaát? Baøi toaùn 3 ( lôùp 9 ): Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB. Töø A vaø B keû hai tieáp tuyeán Ax vaø By vôùi ñöôøng troøn. Qua moät ñieåm M naèm treân nöûa ñöôøng troøn, keû tieáp tuyeán thöù ba caét Ax vaø By taïi C vaø D. a/ Tìm vò trí cuûa M treân nöûa ñöôøng troøn ñeå AC + BD laø ngaén nhaát? b/ Tìm vò trí cuûa M ñeå dieän tích V AOB coù giaù trò nhoû nhaát.
9. Baøi toaùn 4( lôùp 8 ): Caùc ñöôøng cheùo cuûa töù giaùc loài ABCD caét nhau ôû O. tìm dieän tích nhoû nhaát cuûa töù giaùc bieát dieän tích V AOB = 4 cm2 vaø dieän tích VCOD = 9 cm2 Baøi toaùn 5( lôùp 8 ): cho tam giaùc ABC, goïi D laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Treân AB vaø AC laáy hai ñieåm laàn löôït E vaø F a/ Chöùng minh: S( DEF ) S( ABC ) b/ Khi naøo S( DEF ) ñaït giaù trò lôùn nhaát? E. KEÁT LUAÄN CHUNG. Treân ñaây laø nhöõng noäi dung maø trong quaù trình giaûng daïy vaø tham khaûo toâi ñaõ ñuùc ruùt ra ñöôïc. Noù chæ laø yù nieäm caù nhaân. Vieäc tìm toøi ra caùc phöông phaùp giaûi caùc daïng baøi taäp daïng naøy chæ mang tính töông ñoái, nhöng phaàn naøo cuõng giuùp hoïc sinh ñònh höôùng tìm caùch giaûi theo moãi baøi toaùn cuï theå thoâng qua vieäc suy nghó phaûi vaän duïng nhöõng phöông phaùp naøo Vôùi suy nghó nhö vaäy toâi nghó raèng hoïc sinh coù theå vöôït qua nhöõng raéc roái cuûa caùc baøi toaùn “cöïc trò” trong hình hoïc F. PHAÀN THOÁNG KEÂ, ÑAÙNH GIAÙ. 1. Keát quaû ñieàu tra ñieåm ñaït ñöôïc treân 10 hoïc sinh tröôïc khi aùp duïng giaûi phaùp coù keát quaû nhö sau: 6 5 4 7 3 6 5 4 5 5 5 3 7 7 3 5 5 6 4 4 6 6 5 3 7 6 6 3 4 5 Töø ñoù ta coù thoáng keâ sau: Ñieåm Soá löôïng Tæ leä 3 5 16.6% Ñieåm soá trung bình: 150 4 5 16.6% X1 = =5,0 30 5 9 30% 2 Phöông sai:  1 =2,69 6 7 23.4% Ñoä leäch tieâu chuaån: 7 4 13.4% 1 = 1,64 N = 30 100%
10. 2. Ñieàu tra ñieåm ñaït ñöôïc treân 10 hoïc sinh ( ñaõ ñieàu tra ñôït 1), sau khi ñaõ aùp duïng giaûi phaùp coù keát quaû nhö sau: 6 5 7 7 7 4 8 4 5 9 Töø ñoù coù keát quaû thoáng keâ nhö sau: Ñieåm Soá löôïng Tæ leä 4 2 20% Ñieåm soá trung bình: 62 5 2 20% X 2 = =6,2 10 6 1 10% 2 Phöông sai:  2 =2,56 7 3 30% Ñoä leäch tieâu chuaån: 8 1 10% 2 = 1,60 9 1 10% Treân cô sôû cuûa hai laàn ñieàu tra toâi coù nhaän xeùt nhö sau: +Ñieåm trung bình cuûa hoïc sinh taêng leân: Töø X1 = 5,1 X 2 =6,2, ñieàu ñoù chöùng toû raèng vieäc tieáp thu giaûi phaùp cuûa hoïc sinh coù hieäu quaû. Caùch aùp duïng cuûa hoïc sinh thoâng qua giaûi phaùp ñaõ caûi thieän ñaùng keå. Ñoàng thôøi trong laàn ñieàu tra laàn thöù 2 soá ñieåm thaáp giaûm , ñieåm cao nhaát taêng vaø ñieåm khaù gioûi taêng leân chöùng toû giaûi phaùp ñaõ coù ñoä tin caäy nhaát ñònh Ngoaøi ra ñoä leäch tieâu chuaån qua hai con soá thoáng keâ cuõng coù söï cheânh leäch, cuï theå 2< 1. ñieàu naøy cuõng chöùng toû ñôït ñieàu tra thöø 2 coù ñoä phaân taùn ít hôn so vôùi giaù trò trung bình ñaït ñöôïc. Neân möùc ñoä ñoàng ñeàu coù theå noùi ñaõ taêng leân.
11. PHAÀN PHUÏ LUÏC. A/ Lí do choïn ñeà taøi B/ Cô sôû lí thuyeát. C/ Caùc baøi toaùn aùp duïng. D/ Moät soá baøi taäp tham khaûo. E/ Keát luaän chung. F/ Phaàn thoáng keâ ñaùnh giaù *CAÙC TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 1. Baøi toaùn cöïc trò. 2. Moät soá vaán ñeà phaùt trieån hình hoïc. 3. Caùc baøi toaùn hình hoïc sô caáp. 4. Baùo toaùn hoïc tuoåi treû Taân Haø, ngaøy 10 thaùng 12 naêm 2004 Ngöôøi vieát: Löông Vaên Trang