Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7

Nội dung text: Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7

1. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1. Các kiến thức vận dụng: - Tính chất của phép cộng , phép nhân - Các phép toán về lũy thừa: n m n m+n m n m –n a = a.a  a ; a .a = a ; a : a = a ( a 0, m n) n a an (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n (b 0) b bn 2 . Một số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 + . + n , 1+ 3 + 5 + . + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 + + an c c c b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = = an – an-1 = k a1.a2 a2.a3 an 1.an Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 13 + 23 + 33 + + n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 a) A = ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 46.92 510.73 255.492 b) B 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 1 1 1 2 2 2 Bài 4: 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 1890 Bài 5: a) TÝnh A 11 12 : 115 5 5 5 2005 2,5 1,25 0,625 0,5 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chøng minh r»ng .B 2 1
2. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 Bài 6: a) Tính : 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 1 1 1 1 b) TÝnh P 2 3 4 2012 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 1 1 1 1 (1 2 3 99 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 c) A 1 2 3 4 99 100 Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chứng tỏ rằng: B 1 22 32 32 20042 2004 Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức: 2 4 3 81,624 : 4 4,505 125 3 4 A 2 2  11 2 13 : 0,88 3,53 (2,75)  : 25 25  b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004 Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1. Kiến thức vận dụng : a c - a.d b.c b d a c e a c e a b e -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa b d f b d f b d f a c e - Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức a c a2 c2 a Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b 2
3. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: 2 a = (a 2012b) c (b 2012c)2 a c 5a 3b 5c 3d Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d a2 b2 ab Bài 4: BiÕt với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng : c2 d 2 cd a c a d hoặc b d b c a c Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 vµ cd c2 d 2 c d c2 d 2 Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c Bài 7 : a) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x 2y z 2x y z 4x 4y z 3 a b c a b c a b) Cho: . Chứng minh: b c d b c d d x y z t Bài 8: Cho y z t z t x t x y x y z chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. x y y z z t t x P z t t x x y y z y z x z x y x y z Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : x y z x y z Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1 y z x Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 x2010 y2010 z2010 t2010 x2010 y2010 z2010 t2010 Biết x,y,z,t thỏa mãn: a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2 b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ; ; b 22 d 13 f 17 3
4. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 a b c b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : . 2009 2010 2011 Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số bài tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt ( n là số tự nhiên) x y z t và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z, 1+3y 1+5y 1+7y Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 12 5x 4x a b c Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012. b c a Tính b, c. y x 1 x z 2 x y 3 1 Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : x y z x y z 1 2y 1 4y 1 6y Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 18 24 6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 3x 3y 3z Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ 2x2 2y2 z 2 1 8 64 216 2x 1 4y 5 2x 4y 4 Bài 8 : Tìm x , y biết : 5 9 7x Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y 1. Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế A, A 0 - Tính chất về giá trị tuyệt đối : vớiA 0mọi A ; A A, A 0 - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 4
5. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 A m A m A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0 A m A m - Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn) 0< A < B An < Bn ; 2. Bài tập vận dụng Dạng 1: Các bài toán cơ bản Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + + 2011x = 2012.2013 x 1 x 2 x 3 x 4 b) 2011 2010 2009 2008 Bài 2 Tìm x nguyên biết 1 1 1 1 49 a) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99 1006 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 9 1 4 Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối Dạng : x a x b và x a x b x c Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b) Bài 1 : Tìm x biết : a) x 2011 x 2012 b) x 2010 x 2011 2012 Một số bài tương tự: Bài 2 : a) T×m x biÕt x 1 x 3 4 b) T×m x biÕt: x2 6x 2 x2 4 c) T×m x biÕt: 2x 3 2 4 x 5 Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x b) Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 4 : tìm x biết : a) x 1 4 b) x 2011 2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x 1 x 3 x 5 x 7 8 5
6. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 b) Tìm x biết : x 2010 x 2012 x 2014 2 Các bài tương tự Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x 1 x 2 x 100 2500 Bài 3 : Tìm x biết x 1 x 2 x 100 605x Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2006y x 2012 0 Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2004 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 x 1 x 11 Bài 4 : Tìm x , biết : x 7 x 7 0 Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2011y (y 1)2012 0 Các bài tập tương tự : Bài 6 : Tìm x, y biết : a) x 5 (3y 4)2012 0 b) (2x 1)2 2y x 8 12 5.22 Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức. 1 . Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương - Tính chất chia hết của một tổng , một tích - ƯCLN, BCNN của các số 2. Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2 6
7. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 b) Tìm x, y ¥ biết: 25 y2 8(x 2012)2 1 1 1 Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: x y 5 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a3 3a2 5 5b và a 3 5 c Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 52 p 2013 52 p q2 Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7 HD : Với n 0) b b b2 HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. + ( )2 ) + ( c - ) 2a 2a 4a b 4ac b2 4ac b2 4ac b2 b = a( x )2 ( ) ,x Vậy Min P(x) = khi x = 2a 4a 4a 4a 2a Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + 4 b) B = 2 x – x2 Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 7
8. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 2012 a) P = 2012 b) Q = a 2013 x2 4x 2013 a2012 2011 * Dạng vận dụng A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 2013 Bài 3 : Tìm GTLN của R = 4 (x 2)2 (x y) 3 3 x 2 Bài 4 : Cho phân số: C (x Z) 4 x 5 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x Z để C là số tự nhiên. 7n 8 Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n 3 * Dạng vận dụng A 0,A , A 0,A A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 A B A B ,A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) A = ( x – 2)2 + y x + 3 b) B = 2011 2012 x 2010 Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A x 2011 x 2012 b) B x 2010 x 2011 x 2012 c) C = x 1 x 2 x 100 Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết của một tổng 2. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2 : Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 p m n Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1) m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2 Bài 4: a) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? 8
9. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 b) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 7 Bài 5 : a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z) Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f (x) ax2 bx c (a, b, c nguyên). CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 102006 53 Bài 7 : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 9 b) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 0 . Chứng tỏ rằng: M không là số nguyên. a b b c c a Bài 2 Chứng minh rằng : a b 2 ab (1) , a b c 33 abc (2) với a, b, c 0 Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 a) (a b)( ) 4 (1) b) (a b c)( ) 9 (2) a b a b c Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương. x y z 3 Chứng minh rằng: 2x y z 2y z x 2z x y 4 b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3) Bài 2 : Cho f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0 9
10. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 3 Cho đa thức f (x) ax2 bx c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. Bài 4 Chứng minh rằng: f(x) ax3 bx2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005 Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức: x2011 2012x2010 2012x2009 2012x2008 2012x2 2012x 1 Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế 1. Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi : y y y y y = k.x 1 2 3 n k ( k là hệ số tỉ lệ ) x1 x2 x3 xn - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi : x.y = a x1.y1 x2.y2 x3.y3 xn .yn a ( a là hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 2. Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán - Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? 10
11. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB lần lượt là : 40 phút, 5 giờ , 5 giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ? 8 9 PHẦN HÌNH HỌC I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc bằng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó - Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm - Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3 - Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao 4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc - Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao 5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác 6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc . II. Bài tập vận dụng Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC  BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) Cần CM : D· AC B· AE Có : B· AE 900 B· AC D· AC * Gọi I là giao điểm của AB và CD 11
12. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 µ µ 0 Để CM : DC  BE cần CM I2 B1 90 µ µ µ ¶ 0 Có I1 I2 ( Hai góc đối đỉnh) và I1 D1 90 µ ¶ Cần CM B1 D1 ( vì ∆ABE = ∆ ADC) Bài 1. 1: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Từ B kẻ BK  CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ bài 1 chứng minh được DC  BE mà BK  CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA  BC từ đó ta có bài toán 1.2 Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh rằng : MA  BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC Để CM MA  BC ta cần CM ∆AHC vuông tại H Để CM ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác vuông bằng ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN Kẻ DQ  AM tại Q Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ¶ · · · CM: ND = AC , N1 ACB , BAC ADN  CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)  Có AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) và B· AC ·ADN + Để CM ND = AE  CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM B· AC ·ADN  E· AD ·ADN 1800 vìE· AD B· AC 1800  CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) * Khai thác bài toán 1.3 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  BC , ngược lại nếu AH  BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE 12
13. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  DE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN  Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)  Có BD = CE (gt) , Dµ Eµ 900 ( MD, NE BC) B· CA C· BA ( ∆ABC cân tại A) b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN Cần cm IM = IN  Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định Để cm O là điểm cố định  Cần cm OC  AC  Cần cm O· AC O· CN 900  Cần cm : O· BA O· CA và O· BM O· CM  Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác bài 2 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: Bài 2.1 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chøng minh r»ng: a) I là trung điểm của MN b) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đổi 13
14. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE . a) Chứng minh rằng : AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H là giao điểm của BC và AI µ · 0 Để cm AI  BC  Cần cm A1 ACK 90 µ · 0 Để cm A1 ACK 90  Có ·AEK E· AK 900 µ · · · cần cm A1 AEK và ACK CAK  Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)  So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: EF 2 a) AH 2 AE 2 4 b) 2B· ME ·ACB Bµ . c) BE = CF Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. *Phân tích tìm lời giải a) Để cm BE = CD  Cần cm ABE = ADC (c.g.c) 14
15. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 b) Để cm M, A, N thẳng hàng.  Cần cm B· AN B· AM 1800  Có B· AN N· AD 1800 Cần cm M· AB N· AD Để cm M· AB N· AD  Cần cm ABM = ADN (c.g.c) c) Gọi là giao điểm của BC và Ax Để cm BH + CK BC  Cần cm BH BI;CK CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM. *Phân tích tìm lời giải a) Để cm EM + HC = NH  Cần cm EM = AH và HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM  ·AEF E· FN ( cặp góc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để cm ·AEF E· FN  Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài 7 : Cho tam ABC vuông tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F là giao điểm của BA và IE 15
16. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB  Cần cm AF = AC (2); A· FC B· AC 900 (1); E· AF ·ACB (3) + Để cm (1) : A· FC B· AC 900  Cm CI // AE vì có FI // AC và B· AC 900 Để Cm CI // AE  Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC  Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : E· AF ·ACB ( vì cùng phụ H· AC ) *Khai thác bài toán : Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC) Vậy HE lớn nhất = 3AM = 3 BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân 2 Bài 8 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF  ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c) Hoặc ∆AEF cân tại A ( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao) b) Để cm BE = CF cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) Để cm BE = CF  ∆ BEI cân tại B  Eµ B· EI  Có B· IE ·ABF ( cặp góc đồng vị ) mà Eµ A· FE vì ∆AEF cân tại A 16
17. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF AB AC 2 AE = AB + AC hay AE 2 Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. a) Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ? *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A 900 *Khai thác bài toán : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có Từ đó ta có bài toán sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất. Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135 o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP. 17
18. Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : a) BA = BH b) D· BK 450 c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK 18