Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Môn thi: Toán (Chuyên Toán - Tin)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Môn thi: Toán (Chuyên Toán - Tin)

1. Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021-2022 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán-tin ) Ngày thi: 4/6/2021 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1: (2đ) xy−+ xy11 =−− 1.Cho biểu thức : A . Tính giá trị biểu thức A với : xy+− xyxy xy=+==−2021 2 505; 2021 2 505 111 1 2. Cho các số thực a,b,c ≠ 0 và a+b+c ≠ 0 thỏa mãn ++= . a b c abc++ 111 1 Chứng minh rằng ++= a2021 b 2021 c 2021 abc 2021++ 2021 2021 Bài 2: (2,5 đ) 1. Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 số bất kỳ lớn hơn tổng của 10 số còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm các số còn lại của tập hợp A. 2. Tìm các số nguyên dương x sao cho là xx2 −+13 số chính phương Bài 3: (1,5 đ) 2 2xyyxy−+ 2 += 10 Giải hệ phương trình:   3yy+ 4 − 2 ++ 1 22 x −= 1 3 Bài 4: (3 đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm bất kì thuộc cạnh BC ( D khác B và C). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC. Đường thảng MN cắt (O) tại P và Q ( theo thứ tự P,M,N,Q) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K . a)Chứng minh 4 điểm A,I,P,K nằm trên một đường tròn . QA PD b) Chứng minh rằng : = QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( khác P). Đường thẳng IG cắt đường CD thẳng BC tại E. CMR khi D di chuyển trên đoạn BC thì tỉ số không đổi. CE Bài 5: Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn ab+≥23 . Tính GTNN của biểu thức: 9 38a22+ a b + ab 2 ++( a) b3 P = 2 ab HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2đ) 1.Vì x=2021 + 2 505;y = 2021 − 2 505 ⇒=xy ( 2021 + 2 505)( 2021 − 2 505) = 1 x−+ y x y 11 ( x−22 xy +−+ y) ( x xy + y) yx− 4 xy 4 = − −= = = = Do đó: : A . .4 x+− y x y x y x− y xy xy xy 2. Ta có: 111 1 ab++ bc ca 1 ++= ⇔ = ⇔++(ab bc ca)( a ++−= b c) abc 0 a b c abc++ abc abc++ ⇔ab( a ++ b) bc( a ++ b) ca( a ++ b) abc + bc22 + c a − abc =0 Trang 1
2. Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung ⇔ababbcabcaabcab( ++) ( ++) ( ++) 22( +=⇔+) 00( ababbccac)( +++) = ab= −  ⇔+(abbac)( ++) cac( +=⇔+) 00( abbcca)( +)( +=⇔=−)  b c ca= − 2021 2021 11 111 1 1 Nếu a=-b thì: ab+=0; 2021 + 2021 =⇒++=0 2021 2021 2021 2021 2021 2021= 2021 ab abcabc++  c 111 1 Tương tự khi b=-c hoặc c=-a , ta đều có : 2021++= 2021 2021 2021 2021 2021 a b c abc++ Bài 2: (2,5 đ) 1.Giả sử A ={a1 ;a 2 ;a 3; ;a 21} với a1 ;a 2 ;a 3; ;a 21 ∈ N và a1 a 12 + a 13 ++ a 21 ⇔a1 > a 12 − a 2 + a 13 − a 3 ++ a21 − a 11 (1) Mặt khác với x;y∈ N và xy −≥a12 a 2 10, a13 −≥ a 3 10, ,a21 − a 11 ≥ 10 (2) Nên từ (1) suy ra a1 > 10+10+ +10 = 100 => a1 =101 (vì 101∈ A). =>101> a12 − a 2 + a 13 − a 3 ++ a21 − a 11 ≥ 100 =>−a12 a 2 + a 13 − a 3 ++ a21 − a 11 = 100 . Kết hợp với (2) =>−=a12 a 2 a 13 −== a 3 a21 − a 11 = 10 (3) ⇒10 = a12 − a 2 = (a 12 − a 11 ) + (a 11 − a 10 ) ++ (a3 − a 2 ) ≥ 10 ⇒a12 − a 11 = a 11 − a 10 ==−= a3 a 2 1 (4) Ta có a1 =101 mà 102∈ A => a 2 =102 Kết hợp với (3) và (4) suy ra A ={101;102;103; ;121} . 1. Tìm các số nguyên dương x sao cho là xx2 −+13 số chính phương Với xN∈ * ta có: xx2 −+13 số chính phương ⇔x22 −+ x13 = k( kN ∈) 2 ⇔4x22 − 4 x + 52 = 4 k ⇔( 2 x − 1) − 4 k 2 =−⇔ 51( 2 x −+ 1 2 kx)( 2 −− 1 2 k) =− 51 Vì xk,*∈ N và (212x−+ k) −( 21242 x −− kk) =  nên 212212x−− kx < −+ k và có cùng tính chẵn lẻ. Do đó ta có các trường hợp sau 2x-1-2k -51 -1 -17 -3 2x-1+2k 1 51 3 17 x -12 (Loại) 13 -3 (Loại) 4 k 13 5 Vậy các số nguyên dương x cần tìm là: {4;13} Bài 3: (1,5 đ) 2 2xyyxy−+ 2 += 10 (1) 1 Giải hệ phương trình:  ( ĐK: xy≥≥;0 )  3yy+ 4 − 2 ++ 1 22 x −= 1 32( ) 2 2 Đặt tx=2 −≥ 10 ta có: (12) ⇔ytty ++=⇔ 9( ty +) =⇔+9 ty =⇔=− 3 t 3 y Thế vào (2) , ta được: (2) ⇔ 34yyt + − 212 ++ = 3 ⇔ 34 yy + − 2162 ++− y = 3 Trang 2
3. Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung 4−−yy 82 ⇔( 3yy +− 42) +( 3 − 2 y + 1) =⇔ 0 + =0 3yyy++ 42 3 + 2 + 1 12 ⇔− + = (40y) 3yyy++ 42 3 + 2 + 1 12 ⇔−= + > 40y Vi 0 3yyy++ 42 3 + 2 + 1 ⇔=y4 ( TM ) ⇒213x −=− y =⇔ 1 211 x −=⇔ x = 1() TM Vậy HPT có nghiệm duy nhất (x,y)=(1;4) Bài 4: (3 đ) a)Chứng minh 4 điểm A,I,P,K nằm trên một đường tròn Vì tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên: KAP = PBC (Cùng bù với CAP ) Vì tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên: KIP = PBC (Cùng bù với PID ) Suy ra KAP = KIP => tứ giác APBC nội tiếp được K QA PD b) Chứng minh rằng : = QB PK PD PB A . Ta có: ∆ PKD đồng dạng với ∆ PAB (g-g) =>=(1) . PK PA PB NQ ∆ PAB đồng dạng với ∆ NAQ (g-g) =>= PA NA I N Q PB NQ P Mà NA=NC (gt) =>=(2) PA NC M NQ QA O ∆ ∆ NAQ đồng dạng với ∆ NPC (g-g) =>=(3) NC PC PD QA Từ (1) ;(2) và (3) suy ra = (4) C PK PC B D Ta có MN là đường trung bình của tam giâc ABC =>PQ//BC. Trong đường tròn (O) có PQ//BC => BCQP là hình thang cân => PC= QB (5) PD QA Từ (4) và (5) suy ra = PK QB c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( khác P). Đường thẳng IG cắt đường CD thẳng BC tại E. CMR khi D di chuyển trên đoạn BC thì tỉ số không đổi. CE . Ta có: ∆ PAB đồng dạng với ∆ NAQ (c.m.t) ∆ NAQ đồng dạng với ∆ NPC (c.m.t) suy ra ∆ PAB đồng dạng với ∆ NPC ⇒=PCN PBA Tong đường tròn ngoại tiêp ∆ BDP có PBA = PGI CD KD Suy ra PCN = PGI => EI//KC ⇒= (6) CE KI KI KP Lấy điểm J trên cạnh AB sao cho: KPI = APJ => ∆ KPI đồng dạng với ∆ APJ (g.g) =>= (7) AJ AP Trang 3
4. Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung KP KD K Mà ∆ PKD đồng dạng với ∆ PAB (c.m.t) =>=(8) AP AB KI KD KD AB Từ (7) và (8) suy ra =⇒=(9) AJ AB KI AJ A CD AB Từ (6) và (9) suy ra = CE AJ Vì: tứ giác AKPI nội tiếp nên KPI = BAC ( cùng bù vơi KAP ) I M N Q mà KPI = APJ ( cách dựng) suy ra APJ= BAC không đổi , P mà A,B,P cố định nên J cố định => AB, AJ không đổi J O CD AB suy ra = không đổi G CE AJ C B D E ab≥−32 Bài 5: (1,0 đ) Vì: ab+23 ≥⇒ . Ta có: 23ba≥− 229 2 3 + + ++ 2 38a a b ab( a) b ab9 P= 2 =38 ++ab + + b2 ab b 2 a a92 ba 93− a =3434 ++a bb + + b22 ≥ ++ a bb + + b b22 ab a a91 b22 ab   =+++−+=3 a b12 4 bb  3 + 12  +++b ba  b22 a ba   a b 2213 ab   ≥3 + 12  +++−=bb3 2 b 3  + 4  +−+bb3  b a  22 ba   2 AM− GM ab3 39 39 231 ≥ 3.2. .4 +−b + ≥+12 = ba4 16 16 16 ab = 4 ba  3 =ab2 a = 3  2 Dấu “=” khi và chỉ khi b −=⇔0 3 ⇔ 4 b = 3  4 b = a,b> 0  4   231 33 Vậy GTNN của P là khi ab=; = 16 24 Trang 4