Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông - Môn thi: Toán (chuyên)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông - Môn thi: Toán (chuyên)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi : 09/6/2021 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình x4 m 2 x 2 3 m 3 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1,,, x 2 x 3 x 4 sao cho 4 4 4 4 x1 x 2 x 3 x 4 2 x 1 x 2 x 3 x 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2022 2022x 2021 2023 x 2022 2023 3 3 x 6 xy y 8 2) Giải hệ phương trình: . 2 2x y 3 5 x y 3 x y 5 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số tự nhiên n và k để n4 4 2k 1 là số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn x4 x 2 2 x 2 y 2 xy 2 y 2 2 y 36 0 Câu 4: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a,, b c thỏa mãn a b c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 b a2 1 c b 2 1 a c 2 1 P . a2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 1 Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn OR; đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên nửa đường tròn đó (C khác A và B). Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AC và cung BC. Hai đường thẳng AC và BN cắt nhau tại D. Hai dây cung AN và BC cắt nhau tại H. 1) Chứng minh tứ giác CDNH nội tiếp. 2) Gọi I là trung điểm DH. Chứng minh IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn OR; . 3) Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn OR; thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 4) Trên nửa đường tròn OR; không chứa C lấy một điểm P tùy ý (P khác A và B). Gọi Q, R, S lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB, BC, CA. Tìm vị trí của P để AB BC CA tổng đạt giá trị nhỏ nhất. PQ PR PS Hết NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu)) trang 1
2. SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (2,0 điểm) Đặt t x2 t 0 , phương trình đã cho trở thành : t2 m 2 t 3 m 3 0 * Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt * có hai nghiệm phân biệt dương 2 2 t 0 m 2 4 3 m 3 0 m 4 0 m 4 P 0 3 m 3 0 m 1 t m 1 S 0 m 2 0 m 2 t t1 t 2 3 m 3 Theo Viét, ta có : t1 t 2 m 2 Khi đó xxxx4 4 4 42 xxxx 2 tt 2 2 2 tt 2 tt2 3 tt 1234 1234 12 12 12 11 2 2 5 27 27 2 m 2 3 3 m 3 2 m 2 2 2 5 5 Dấu ‘=’ xảy ra khi m 0 m (TMĐK ) 2 2 5 Vậy m thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt x,,, x x x mà 2 1 2 3 4 27 x4 x 4 x 4 x 4 2 x x x x đạt giá trị nhỏ nhất là . 1 2 3 4 1 2 3 4 2 Câu 2: (2,0 điểm) 2021 x 2022x 2021 0 2022 2022 1) ĐK: x 2023x 2022 0 2022 2023 x 2023 +) Với x 1, ta có 2022 2022x 2021 2023 x 2022 2022 1 2023 +) Với x 1 2022 2022 x 2021 2023 x 2022 2022 2022 2021 2023 2022 2022 1 2023 2022 +) Với x 1 2022 2022 x 2021 2023 x 2022 2023 2022 2022 2021 2023 2022 2022 1 2023 Vậy phương trình có một nghiệm x 1. 6 2) ĐK: 2x y 3 0; 5 x y 3 0; x 7 Ta có x3 6 xyy 3 8 0 xy 3 3 6 xy 8 xy 3 3 xyxy 6 xy 8 x y 2 x y2 2 x y 4 3 xy x y 2 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu)) trang 2
3. 2x2 2 xy 2 y 2 4 x 4 y 8 x y2 x2  xy y 2 2 x 2 y 4 x y 2 2 x y 2 x 2 2 y 2 2 x y 2 0 x y 2  2 2 2 2 x y x 2 y 2 0 +) TH 1: x y 2 y x 2 2 2 1 Ta có 2xy 3 5 xy 3 xy 5 3 x 1 4 x 5 xxx 7 3 3x 1 2 4 x 5 3 x2 x 2 0 3 x 1 4 x 1 x 1 x 2 0 3x 1 2 4 x 5 3 3 4 x 1 x 2 0 3x 1 2 4 x 5 3 x 1 TM 1 3 4 . Với x , VT * 0 x 2 0 * 3 3x 1 2 4 x 5 3 Với x 1 y 1 2 1 (TMĐK) 2 2 2 x 2 6 +) TH 2: x y x 2 y 2 0 (không TMĐK x ) y 2 7 Vậy hệ phương trình có một nghiệm x; y 1; 1 Câu 3: (2,0 điểm) 1) +) Với n 1, k 0 , ta có: n4 4 2k 1 1 4 4 2  0 1 1 4 5 là số nguyên tố. 2 2 +) Với n 1, k 0, ta có: n4 4 2k 1  n 4 24 k  n 4 24224224 k   n 2 k n 2 k 2 2  n224k 22 n k  n 2 2422 k n k n 2  2422 k n k 2 2 n22222 nk 2 k 2 k n 2 2222 n k 2 k 2 k n 22 k 2 k n 22 k 2 k Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2, nên n4 4 2k 1 là hợp số Vậy n 1, k 0 thì n4 4 2k 1 là số nguyên tố. 2) Ta có x4 x 2 2 x 2 y 2 xy 2 y 2 2 y 36 0 x4 y 2 1 2 x 2 y 2 x 2 2 y x 2 2 xy y 2 37 2 x2 y 2 1 x y 2 37, mà 37 1 36 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu)) trang 3
4. Do đó có các trường hợp sau: x2 y 2 x y 6 2 2 x, y x y 1 1 x y 2 2 x, y  2 2 x y 1 1 x y 1 1 x y 6 +) TH 1: x 2, y 4 2 x y 6 x2 y 0 x y 36 x 3, y 9 x y 6 x y 6 x, y  x2 y 0 x y 6 x2 y 7 x y 1 x, y 2 2 x y 1 6 x y 7 2 x 2, y 3 2 2 x y 1 36 x y 1 6 x y 1 +) TH 2: x 3, y 2 2 x y 1 x2 y 5 x y 1 x, y  x y 1 x y 1 x, y  x2 y 5 x y 1 Vì x, y 0 nên x; y 2; 3 Câu 4: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a,, b c thỏa mãn a b c 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 b a2 1 c b 2 1 a c 2 1 P . a2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 1 a2 1 b 2 1 c 2 1 Đặt x ,, y z a b c 2 2 2 2 2 2 b a 1 c b 1 a c 1 x2 y 2 z 2 Ta có P a2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 1 y z x x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 y z xxyz 2  y 2  z 2  xxyz y z x y z x a2 1 b 2 1 c 2 1 2 x y z x y z x y z a b c 9191915 333513 a b c a b c 2  2 4a 4 b 4 c 4 2 2 2 4 2 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu)) trang 4
5. 9 1 a D 4 a 9 1 b 2 Dấu “=” xảy ra khi 4 b a b c I 3 9 1 N c 4 c C K a b c 2 H Câu 5: (3,0 điểm) M R A Q B O 1) Chứng minh tứ giác CDNH nội tiếp. S ACB ANB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tứ giác CDNH, ta có: DCH DNH 900 (vì ACB ANB 900 ) P Vậy tứ giác CDNH nội tiếp 2) Chứng minh IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn OR; ABD: AN  BD , BC  AD ACB ANB 900 nên H là trực tâm ABD DH  AB HDB ABD 900 hay IDN OBN 900 a 1 1 DNH: DNH 900 cmt , ID IH DH gt IN DH ID 2 2 nên IDN cân tại I IDN IND b OBN: OB ON R , nên OBN cân tại O OBN ONB c Từ a , b , c IND ONB IDN OBN 900 INO 1800 IND ONB 180 0 90 0 90 0 hay IN ON Vậy IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn OR; tại N 3) Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn OR; thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 1 1 MON sđ MCN sđ MC sđ NC (sđ AC + sđ BC ) = 1800 90 0 2 2 Lại có OM ON R , nên OMN vuông cân tại O MN OM2 R 2 1R 2 Kẻ OK MNK MN OK MN (không đổi), O cố định 2 2 NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu)) trang 5
6. R 2 Vậy MN luôn tiếp xúc với một đường tròn O; cố định khi C di động. 2 AB BC CA 4) Tìm vị trí của P để tổng đạt giá trị nhỏ nhất. PQ PR PS Tứ giác ACBP nội tiếp đường tròn (O) SAP RBP (cùng bù với CAP ) Xét SAP và RBP: ASP BRP 900 gt , SAP RBP (cmt). C AS BR Vậy SAP RBP (g.g) c PS PR R 0 O Q Xét CSP và BQP: CSP BQP 90 gt , A B PCS PBQ (góc nội tiếp cùng chắn AP ). CS BQ S Vậy CSP BQP (g.g) d PS PQ P Xét CRP và AQP: CRP AQP 900 gt , PCR PAQ (góc nội tiếp cùng chắn BP ). CR AQ Vậy CRP AQP (g.g) e PR PQ AB AQ BQ CR CS BC BR CA AS BC CA Từ c ,, d e , ta có: PQ PQ PQ PR PS PR PR PS PS PR PS AB BC CA AB AB AB4 R 4 R Do đó 2 4 PQ OP R PQ PR PS PQ PQ PQ PQ R Dấu “=” xảy ra khi P là điểm chính giữa nửa đường tròn (không chứa điểm C) AB BC CA Vậy Min 4 khi P là điểm chính giữa nửa đường tròn. PQ PR PS NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HHảảiii –– GGVV TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk ((SSưưuu tttầầmm ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu)) trang 6