Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên vòng 1 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên vòng 1 - Môn: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN hà nội NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐẠI HỌC KHTN HÀ NỘI V1 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. 1.Câu I.Giải phƣơng trình13 5 x 18 x 8 61 x 3 (5 x )( x 8) x4 y 4 61 x 2 y 2 2 .Câu II.Giải hệ phƣơng trình 4 x() x y x y 3 .Câu III.Tìm số nguyên dƣơng n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7,9,11,13 ta nhận đƣợc các số dƣ lần lƣợt là 3,4,5,6 4 .Câu IV.Cho tam giác ABC có điểmP nằm trong tam giác (P không nằm trên các cạnh). GọiJ,K,L làn lƣợt là tâm đƣờng tròn nội tiếp các tam giácPBC ,PCA,P AB. 1. Chứng minh rằng∠BJC+∠CK A+∠ALB= 45 2. Giả sử PB= PC và PC 2) sao cho ta có thể chọn đƣợc k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số đƣợc chọn không chia hết cho hiệu của chúng. Lời giải. 1.Câu I.Giải phƣơng trình13 5 x 18 x 8 61 x 3 (5 x )( x 8) Lời giải.Điều kiện xác định 85 x .Đặt a 5 x 0; b x 8 0; a22 b 13 . Theo đề bài ta có:13a+18b= 61+x+3ab hay 13a+18b−(a2+x−5)−2(b2−x−8)−61−x−3ab=0 tức là (a+2b−8) (5−a−b)=0 • Nếu a+2b=8 thì a=8−2b⇒ (8−2b)2+b2= 13 suy ra 17 b ;b=3. 5
2. 17 89 +) Nếu b x . (nhận) 5 25 +) Nếu b=3⇒x=1 (nhận) • Nếu a=5−b⇒ (5−b)2+b2= 13⇒b=3 hoặc b=2. +) Nếu b=3⇒x=1. (nhận) +) Nếu b=2⇒x = −4. (nhận) 89 Vậy kết luận S=  4;1; 25 x4 y 4 61 x 2 y 2 2 .Câu II.Giải hệ phƣơng trình 4 x() x y x y Lời giải.Xét biểu thức x4 y 4 6 x 2 y 2 1 ( x y ) 4 1 4 xy ( x 2 y 2 ) 2 2 2 Thay (1) vào biểu thức tiếp theo ta đƣợc y 4 x ( x y ) 1 0 y 0 Thay y=0 vào hệ ban đầu ta đƣợc x=1 hoặc x=−1 Thử lại thì cả 2 bộ(x;y)= (1;0) và(−1;0) đều thoả mãn. Vậy có 2 bộ (x;y) thoả mãn là (1;0); (−1;0) 3 .Câu III.Tìm số nguyên dƣơng n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7,9,11,13 ta nhận đƣợc các số dƣ lần lƣợt là 3,4,5,6 Lời giải. Ta có 2n+1 khi chia cho 7,9,11,13 sẽ nhận đƣợc các số dƣ lần lƣợt là7,9,11,13. Tức là 2n+1 chia hết cho 7,9,11,13. Mà 7,9,11,13 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên 2n+1 sẽ chia hết cho 9009 (9009=7.9.11.13). Vậy 2n+1 ≡ 9009 (mod 9009) nên n≡ 4504 (mod 9009). Từ đó ta thấy n có dạng là 9009k+4504 (trong đó k là số nguyên dƣơng). Vậy n nhỏ nhất là 4504. 4 .Câu IV.Cho tam giác ABC có điểmP nằm trong tam giác (P không nằm trên các cạnh). Gọi J,K,L làn lƣợt là tâm đƣờng tròn nội tiếp các tam giácPBC ,PCA,P AB. 1. Chứng minh rằng∠BJC+∠CK A+∠ALB= 4500 2. Giả sử PB= PC và PC< P A. GọiX,Y,Z lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của J,K,L lên BC,C A, AB. Dựng hình bình hành XYWZ. Chứng minhrằng W nằm trên phân giác∠BAC Lời giải.
3. 1. Ta có: ∠BJC= 1800−∠JBC−∠JCB= 1800− 1 ∠PBC 2 1 ∠PCB = 900+ 1 ∠BPC . Tƣơng tự suy ra: ∠BJC+∠CK A+∠ALB 2 2 0 1 = 270 + (∠BPC+∠CP A+∠APB) 2 0 1 0 0 = 270 + .360 = 450 . Ta hoàn tất chứng minh 2 2. Gọi Q đối xứng vói B qua Z,R đối xứng với C qua Y. Gọi W’ là trung điểm QR. Ta có tam giác BPC cân tại P nên X là trung điểm BC. Từ đó có: ZW’= XY= RB và YW’ = XZ= QC nên XYW’Z là hình bình hành nên W’≡W. Cuối cùng ta để ý: AQ= AB−BQ= AB−2BZ= AB−(BP+BA− AP)= AP −BP; AR= AC−CR= AC−2CY= AC−(C A+CP− AP)= AP−CP. Mà BP = CP nên ta suy ra AQ= AR. Vậy tam giác AQR cân tại A mà W là trung điểm QR nên AW là phân giác ∠QAR (đpcm). 5 .Câu V.Cho tập A={1,2, ,2021}. Tìm số nguyên dƣơng k lớn nhất (k> 2) sao cho ta có thể chọn đƣợc k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số đƣợc chọn không chia hết cho hiệu của chúng. Lời giải. Cách 1:Ta xét các số chia 3 dƣ 2 thuộc tập hợp A, có 674 số nhƣ vậy. Hai số bất kì trong các số này có tổng chia 3 dƣ 1 và hiệu chia hết cho 3 nên tổng của hai số bất kì không chia hết cho hiệu của chúng. Ta chứng minh 674 là số lớn nhất thỏa mãn đề bài. Giả sử lấy đƣợc 675 số sao cho tổng của hai số bất kì trong 675 số này không chia hết cho hiệu của chúng. Ta thấy tồn tại hai số a>b sao cho a-b không lớn hơn 2 (dễ cm bằng phản chứng) - Nếu a-b=1 thì hiển nhiên a+b chia hết cho a-b (vô lý) - Nếu a-b=2 thì a+b là số chẵn (vì a+b và a-b cùng tính chẵn lẻ) nên a+b chia hết cho a-b (vô lý). Vậy 674 là số lớn nhất thỏa đề bài
4. Cách 2: Xét 3 số tự nhiên liên tiếp thì ta thấy tổng của 2 số bất kì chia hết cho hiệu của nó . Và ta không thể chọn 2 số tự nhiên liên tiếp bất kì . Ta xếp 1; 2 vào 1 nhóm còn lại chia thành 673 nhóm . Vậy ta chọn tối đa 674 số . Từ đó ta có cách chọn thỏa là 1 4 7 2020 . Nhận xét hiệu của 2 số bất kì luôn là bội của 3 mặt khác tổng của 2 số bất kì không chia hết cho 3 . Vậy max k = 674