Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Quốc học môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Quốc học môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTCHUYấN QUỐC HỌC THỪA THIấN HUẾ NĂM HỌC 2017-2018 Khúa ngày 02 thỏng 6 năm 2017 Mụn thi: TOÁN (CHUYấN TOÁN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1: (1,5 điểm) 1 9 x x1 a) Cho cỏc biểu thức P(x) , Q(x) với x 0. Tỡm số nguyờn x x x 3 x x P(x) 1 nhỏ nhất thỏa món . Q(x) 2 2x4 21x 3 55x 2 32x 4012 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức F khi x 5 3 (khụng x2 10x 20 sử dụng mỏy tớnh cầm tay). Cõu 2: (2,0 điểm) 2 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y x , đường thẳng (d) cú hệ số gúc k và đi qua điểm M(0;1). Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của k, (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A và B cú hoành độ x , x thỏa điều kiện x x 2. 12 12 x33 y 9 b) Giải hệ phương trỡnh . 22 x 2y x 4y Cõu 3: (1,5 điểm) 2 2 2 Cho phương trỡnh x 2(m1)x 1m m20 (1) (x là ẩn số). a) Giải phương trỡnh (1) khi m 0. b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú bốn nghiệm phõn biệt. Cõu 4: (3,0 điểm) Cho đường trũn (O) cú tõm O và hai điểm C, D trờn (O) sao cho ba điểm C, O, D khụng thẳng hàng. Gọi Ct là tia đối của tia CD, M là điểm tựy ý trờn Ct, M khỏc C. Qua M kẻ cỏc tiếp tuyến MA, MB với đường trũn (O) (A và B là cỏc tiếp điểm, B thuộc cung nhỏ CD ). Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của đường thẳng MO và đường thẳng AB. a) Chứng minh tứ giỏc MAIB nội tiếp. b) Chứng minh đường thẳng AB luụn đi qua một điểm cố định khi M di động trờn tia Ct. MD HA2 c) Chứng minh . MC HC2 Cõu 5: (2,0 điểm) a) Cho a, b, c là cỏc số dương thay đổi và thỏa món điều kiện ab bc ac 1. a2 b 2 c 2 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức E. a b b c c a b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n sao cho n32n là một số chớnh phương. Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh : . Số bỏo danh : Chữ ký của giỏm thị 1 : Chữ ký của giỏm thị 2 :
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN QUỐC HỌC THỪA THIấN HUẾ NĂM HỌC 2017-2018 Khúa ngày 02 thỏng 6 năm 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mụn thi: TOÁN (CHUYấN TOÁN) HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Cõu Đỏp ỏn Điểm 1 9 x x1 a) Cho cỏc biểu thức P(x) , Q(x) với x 0. x x 3 x x 0,75 P(x) 1 Tỡm số nguyờn x nhỏ nhất thỏa món . Q(x) 2 1 P(x) 1 Ta cú Q(x) 1 0,  x 0 . Do đú 2P(x) Q(x) 0,25 x Q(x) 2 1 9 x x 1 2 3x 5 x 2 0 0,25 x x 3 x x 1 x 2 3 x 1 0 x 2 x 4 (vỡ 3 x 1 0 ). (1,5 0,25 điểm) Vậy giỏ trị nguyờn nhỏ nhất của x cần tỡm là x4 . 2x4 21x 3 55x 2 32x 4012 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức F khi x 5 3 x2 10x 20 0,75 (khụng dựng mỏy tớnh cầm tay). Ta cú x 5 3 suy ra 5 x 3 . Do đú (5 x)22 3 x 10x 22 0 . 0,25 (x22 10x 22)(2x x 1) 4034 Ta cú F . 0,25 x2 10x 20 4034 Mà x2 10x 22 0 nờn x2 10x 20 2 . Suy ra F 2017. 0,25 2 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y x2 , đường thẳng (d) cú hệ số gúc k và đi qua điểm M(0;1). Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của k, (d) luụn 1,00 cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A và B cú hoành độ x , x thỏa điều kiện 12 x12 x 2. Đường thẳng (d) cú phương trỡnh y kx 1. 0,25 2 Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x kx 1 0 (1). Ta cú k2 4 0, với mọi k nờn phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt. Suy ra 0,25 2 (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt. (2,0 Theo định lý Vi-ột, ta cú: x x k, x x 2 . điểm) 1 2 1 2 2 2 2 0,25 Suy ra (x1 x) 2 (x 1 x) 2 4xx 1 2 k 44 . Do đú x12 x 2 (dấu “=” xảy ra khi k0 ). 0,25 x33 y 9 (1) b) Giải hệ phương trỡnh . 22 1,00 x 2y x 4y (2) Nhõn hai vế phương trỡnh (2) cho 3, ta được 3x22 6y 3x 12y (3). 0,25 Trừ hai phương trỡnh (1) và (3) vế theo vế, ta được (x1) 33 (2y) y 3x . 0,25 Trang 1/4
3. 2 Thế y 3 x vào (3), ta được x 3x 2 0 x 1 hoặc x2 . 0,25 Với x1 thỡ y2 . Với x2 thỡ y1 . 0,25 Hệ phương trỡnh cú hai nghiệm (2; 1), (1; 2). 2 2 2 Cho phương trỡnh x 2(m1)x 1m m20 (1) (x là ẩn số). 0,50 a) Giải phương trỡnh (1) khi m 0. Khi m 0, phương trỡnh trở thành x22 2 x 1 2 0 . 0,25 2 2 Đặt t x 1, t 1. Ta cú phương trỡnh t 2t 3 0 t 3 hoặc t1 (loại). Với t3 , khi đú x22 1 3 x 8 x 2 2 . 0,25 b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú bốn nghiệm phõn biệt. 1,00 Đặt t x2 1, t 1 phương trỡnh trở thành t22 2(m1)t m m 3 0 (2). 0,25 (1) cú 4 nghiệm phõn biệt (2) cú 2 nghiệm phõn biệt t12 , t cựng lớn hơn 1 3 '0 (1,5 0,25 điểm) (t12 1)(t 1) 0 t12 1 t 1 0 22 '0 (m 2m 1) (m m 3) 0 2 tt1 2 (t 1 t)10 2 m m3(2m2)10 0,25 t t 2 0 2m 2 2 0 12 3m 4 0 m 4 / 3 2 m3m40 m 1 hoặc m4 m4. 0,25 2m 0 m 0 Vậy với m4 thỡ phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm phõn biệt. Cho đường trũn (O) cú tõm O và hai điểm C, D trờn (O) sao cho ba điểm C, O, D khụng thẳng hàng. Gọi Ct là tia đối của tia CD, M là điểm tựy ý trờn Ct, M khỏc C. Qua M kẻ cỏc tiếp tuyến MA, MB với đường trũn (O) (A và B là cỏc tiếp 1,00 điểm, B thuộc cung nhỏ CD). Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của đường thẳng MO và đường thẳng AB. a) Chứng minh tứ giỏc MAIB nội tiếp. A O 4 H (3,0 D I điểm) t C M B Q MA, MB là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (O) MAO MBO 90 . 0,25 I là trung điểm của CD nờn OI CD MIO 90 . 0,25 Suy ra cỏc điểm A, I, B cựng thuộc đường trũn đường kớnh MO. 0,25 Vậy tứ giỏc MAIB nội tiếp đường trũn đường kớnh MO. 0,25 Trang 2/4
4. b) Chứng minh đường thẳng AB luụn đi qua một điểm cố định khi M di động 1,00 trờn tia Ct. Cỏc tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q nằm trờn đường thẳng OI. 1 Ta cú MAC đồng dạng với MDA ( M chung và MAC MDA sđAC). 2 MA MC Suy ra MA2 MC.MD. MD MA 0,25 Mà MAO vuụng ở A cú đường cao AH nờn MA2 MH.MO . MC MO Suy ra MC.MD = MH.MO . Do đú MCH và MOD đồng dạng. MH MD Từ đú CHM ODM . Suy ra tứ giỏc CHOD nội tiếp (1). Tứ giỏc QCOD cú nờn nội tiếp đường kớnh OQ (2). OCQ ODQ 90  0,25 Từ (1) và (2) ta cú năm điểm C, H, O, D, Q thuộc đường trũn đường kớnh OQ. Suy ra QHO  90 . Do đú QH  MO tại H. Mà AB  MO tại H. Do đú hai đường thẳng QH và AB trựng nhau. Suy ra Q nằm 0,25 trờn đường thẳng AB. Vỡ d và (O) và C, D, I cố định nờn Q cố định. 0,25 Vậy AB luụn đi qua một điểm cố định Q khi M di động trờn tia Ct. MD HA2 c) Chứng minh . 1,00 MC HC2 1 Hai tam giỏc MBC và MDB cú M chung và MBC MDBsđ BC nờn đồng dạng. 0,25 2 MD MB BD MD MB2 BD 2 0,25 Suy ra 2 (3). MB MC BC MC MC BC 1 Lại cú CAH CDBsđ BC (4). 2 Mà MCH đồng dạng với MOD nờn MHC MDO . 180 COD 1 0,25 Suy ra AHC  90 MHC  90 CDO  90  180 COD 22 11 360  COD sđCAD CBD (5). 22 BD HA Từ (4), (5) ta cú hai tam giỏc AHC và DBC đồng dạng. Suy ra (6). BC HC 0,25 MD HA2 Từ (3) và (6) suy ra . MC HC2 a) Cho a, b, c là cỏc số dương thay đổi và thỏa món điều kiện ab bc ac 1. a2 b 2 c 2 1,00 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức E . a b b c c a 5 (2,0 a22 a b a a b Ta cú 2a  . điểm) a b 4 a b 4 0,25 b22 b c c c a Chứng minh tương tự ta cú b, c. b c 4 c a 4 Trang 3/4
5. Cộng cỏc bất đẳng thức trờn vế theo vế ta được a2 b 2 c 2 a b b c c a a b c a b b c c a 4 4 4 0,25 a2 b 2 c 2 a b c  a b b c c a 2 Do a b 2ab,b c 2bc,c a 2ca nờn a b c ab bc ac 1. a2 b 2 c 2 1 1 0,25 Suy ra  Đẳng thức xảy ra khi a b c . a b b c c a 2 3 1 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của E là , đạt được tại a b c . 0,25 2 3 b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n sao cho n32n là một số chớnh phương. 1,00 Gọi m là số nguyờn dương thỏa món n2 3 n m 2 . Khi đú (m n)(m n) 3n . Suy ra tồn tại số tự nhiờn k sao cho m n 3k và m n 3nk . 0,25 Vỡ m n m n nờn k n k , do đú n 2k 1. Nếu n 2k 1 thỡ 2n (m n) (m n) 3n k 3 k 3(3 k n 2k 1) 3(3 k 1 1) 2.3. k Vỡ vậy n 3k 2k 1. + Nếu k0 thỡ n1 . 0,25 + Nếu k1 thỡ n3 . + Nếu k2 thỡ 312(3k k 1 3 k 2 31)2k (*). Nếu n 2k 1 thỡ k n k 2 . Do đú 33k n k 2 . 0,25 Suy ra 2n3 nk 3 k 3 nk 3 nk2 3 nk22 (31)8.3 nk2 . n k 2 Áp dụng (*), ta cú 3 12(n k 2) 2n 2k3 . Suy ra 2n 8(2n 2k 3) 8k 12 7n . 0,25 Mặt khỏc n 2k 2 nờn 7n 14k 14 , mõu thuẫn. Vậy n1 hoặc n3 . Cỏch khỏc: Giả sử n2 3 n m 2 (1), với m là số nguyờn dương, mn . Khi đú (m n)(m n) 3n . Suy ra m n 3pq , m n 3 , với p, q là cỏc số tự nhiờn 0,25 và pq . m n n n 3pq 1 Ta cú 3p q 1 2  3 p q 1 2n m . m n m n m n 2 Suy ra n2 3 n 4n 2 3 n 3n 2 (2). 0,25 Thử trực tiếp n 1, n 2, n 3 thỏa món (2), nhưng chỉ cú n 1, n 3 thỏa món (1). 0,25 Ta chứng minh (2) khụng đỳng với n4 . Thật vậy: + n4 : 342 3.4 . 0,25 + Giả sử 3n2 3n với . + Suy ra 3n 1 3.3 n 3.3n 2 3(n 1) 2 3(2n 2 2n 1) 3(n 1) 2 với . Vậy bài toỏn cú hai nghiệm hoặc . - Học sinh làm cỏch khỏc đỏp ỏn nhưng kết quả đỳng vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài chấm điểm lẻ đến 0,25. - Đỏp ỏn gồm 04 trang. Hết Trang 4/4