Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên, năm 2021 - 2022 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên, năm 2021 - 2022 - Môn thi: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (30/5/2021) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Câu 1. (2,0 điểm) 1.Cho a b c 0; a2 b 2 c 2 1 tính S a2 b 2 b 2 c 2 a 2 c 2 2.Cho P(x) thỏa bậc 2 và P(1)=1;P(3)=3;P(7)=31.Tính P(10) Câu 2. (1,5 điểm) 2 2 2 xx7 1. Giải phƣơng trình: x 4 xx 11 x(2 x 1) y ( x y 2) 1 2. Giải hệ phƣơng trình: 4x 3 2 y 2 11 x Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB GC; một đƣờng tròn có tâm là k đi qua A, B và cắt đoạn thẳng AD tại điểm P nằm bên trong tam giác ABC. Đƣờng thẳng GK cắt đƣờng tròn (O) tại điểm M (M khác G). a) Chứng minh các tam giác APG, ODG đồng dạng với nhau. b) Chứng minh GP, MD là hai đƣờng thẳng vuông góc c.Gọi F là giao điểm OD và KP,đƣờng thẳng qua A và song song BC cắt (K) tại E khác A.Chứng minh tứ giác DGFP nội tiếp và góc EGF=90 Câu 4. (2,5 điểm) a.Tìm x,y nguyên dƣơng thỏa 5xy2-27=(y-x)x2y2 b.Cho p1,p2, ,p12 ;là các số nguyên tố lớn hơn 3 .Chứng minh 2 2 2 p1 p 2 p 12 chia hết cho 12 Câu 5. (3,0 điểm) a bc b ca c ab a.Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Chứng minh 2 b c c a a b b.Xét hai tập hợp A,B khác rỗng thỏa ABAB ;*  .Biết A có vô số hạn phần tử và tổng của mỗi phần tử thuộc A với mỗi phần tử thuộc B là phần tử thuộc B.Gọi x là phần tử bé nhất thuộc B thỏa x khác 1.Hãy tìm x. Lời giải. Câu 1. (2,0 điểm) 1.Cho a b c 0; a2 b 2 c 2 1 tính
2. 2.Cho P(x) thỏa bậc 2 và P(1)=1;P(3)=3;P(7)=31.Tính P(10) Lời giải. 1 1.Ta có abc 0; a2 b 2 c 2 1 abbcca ;Ta có 2 1 ab2 2 bc 2 2 ac 2 2 ( abbcca ) 2 2 abcabc ( ) 4 a.12 b .1 c 1 2 2.Ta có P() x ax bx c .Theo đề ta có a.32 b .3 c 3 a 1; b 3; c 3 P (10) 73 2 a.7 b .7 c 7 Câu 2. (1,5 điểm) 2 2 2 xx7 1. Giải phƣơng trình: x 4 xx 11 x(2 x 1) y ( x y 2) 1 2. Giải hệ phƣơng trình: 4x 3 2 y 2 11 x Lời giải. 2 2 2 2 15 2 x7 x x x x 1.Ta có x 4 1 4 0 2 với x khác -1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 2 2 2.Ta có x(2 x 1) y ( x y 2) 1 (2 x y 1)( x y 1) 0 x 3 y ; y 2; 4x 32 y 211 x 4 x 32 y 211 x 2xy 1 0 4x 3 2 y 2 11 x . xy 10 4x 3 2 y 2 11 x 2xy 1 0 yx 12 TH1: .Ta có 4x 3 2 y 2 11 x 4x 3 2 3 2 x 11 x 4x 32.2 x 3 x 7;23242 x x x 1 y 1. TH2: 2xy 1 0 yx 1 xy 29 6 23 30 6 23 4x 3 2 y 2 11 x 4x 3 2 3 x 11 x xl 29 6 23( ) Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đƣờng tròn (O). Đƣờng phân giác trong của BAC cắt đƣờng tròn (O) tại D (D 4. Trên cung nhỏ AC
3. của đƣờng tròn (O) lấy điểm G khác C sao cho AG > GC; một đƣờng tròn có tâm là k đi qua A, B và cắt đoạn thẳng AD tại điểm P nằm bên trong tam giác ABC. Đƣờng thẳng GK cắt đƣờng tròn (O) tại điểm M (M khác G). a) Chứng minh các tam giác APG, ODG đồng dạng với nhau. b) Chứng minh GP, MD là hai đƣờng thẳng vuông góc c.Gọi F là giao điểm OD và KP,đƣờng thẳng qua A và song song BC cắt (K) tại E khác A.Chứng minh tứ giác DGFP nội tiếp và góc EGF=90 Lời giải. 1800 DOG a.Ta có tam giác ODG cân tại O nên  ODG (1) .Tƣơng tự ta có 2 1800 PKG KPG (2);  DOG 2  DAG 2  PAG  PKG (3) 2 ODG  KPG;  DOG  PKG KPG DOG b.Gọi I là giao điểm PG và MD.Ta có DOG  PKG1800  PKG IMG  IGM  KGP 900 .Do đó tam giác IMG 2 2 2 vuông tai I suy ra PG vuông MD c.Gọi giao điểm BC với DO,DA là T,X.Từ câu a suy ra FPG  FDG suy ra tứ giác DGFP nội tiếp PDF  PGF .Kết hợp với AE//BC và OD vuông BC suy ra EGF  EGP  PGF 1800  PAE  PDF 180 0  DXT  DTX 90 0 Câu 4. (2,5 điểm) a.Tìm x,y nguyên dƣơng thỏa 5xy2-27=(y-x)x2y2 b.Cho p1,p2, ,p12 ;là các số nguyên tố lớn hơn 3 .Chứng minh 2 2 2 p1 p 2 p 12 chia hết cho 12 Lời giải. a.Ta có 57xy22 2 y x x y2 xy 2(xy x 2 5) 27 27 y2 y 13 ;  Với y 1 xx ( x 2 5) 27 27 x x 1;3;9;27 loại Với y 3 9x (3 x x2 5) 27 ( x 1)(x2 2xx 3) 0 1. b.Ta có pi > 3 nên pi chia cho 3 dƣ 1 hoặc 2.Suy ra 22 pi 1 (mod3) 2 22 pii 1(mod3)  1,12 .Suy ra pi  2 (mod3) chia hết cho 12. Câu 5. (3,0 điểm) a bc b ca c ab a.Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Chứng minh 2 b c c a a b
4. b.Xét hai tập hợp A,B khác rỗng thỏa ABAB ;*  .Biết A có vô số hạn phần tử và tổng của mỗi phần tử thuộc A với mỗi phần tử thuộc B là phần tử thuộc B.Gọi x là phần tử bé nhất thuộc B thỏa x khác 1.Hãy tìm x. Lời giải. a.1 bcb .1 cac .1 ab ( abac )( ) ( bcba )( ) ( cbca )( ) a.Ta có bccaab bc ac ab 1 2(a b c ) 2 a b c 2 b.Ta có Ta có 1 Avì nếu 1 AxBx ;  1 B 1 ( x 1) x 2 BxnBn 1. Mà A B ; A  B * A  1;2;3; ; x (vô lý) 11 AB .TH1: 2 ABB 2 1 2 3 5 suy ra B chứa các số lẻ suy ra x=3.Ta chỉ ra 1 ví dụ thỏa mãn A 2 k / k * ; B 2 k 1/ k  . TH2: 22 Bx .Ta chỉ ra 1 ví dụ thỏa mãn A 3 k / k * ; B 3 l r / l ; r 1; r 2 . Vậy x thuộc {2;3}.