Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỂ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN - NĂM HỌC Môn Thi : Toán ( Dành cho tất cả thí sinh ) Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu I. ( 1, 5 điểm ) Cho phương trình x 2 2mx 2m 6 0 (1) , với ẩn x , tham số m . 1) Giải phương trình (1) khi m = 1 2 2 2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 x2 nhỏ nhất. Câu II. ( 1,5 điểm ) Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị . 2) Tìm a và b để đồ thị (d’) của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 Câu III .( 2,0 điểm ) 1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km . Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B . 2 ) Giải phương trình x 1 x x 1 x 1 Câu IV . ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M . 1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC . 3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu V .( 2, 0 điểm- Dành cho HS thi chuyên toán ) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2016 . 2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau . Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.
2. Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất cả thí sinh năm học 2014-2015 Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh và câu V chuyên toán Câu I. ( 1, 5 điểm ) Cho phương trình x 2 2mx 2m 6 0 (1) , với ẩn x , tham số m . 1) Giải phương trình (1) khi m = 1 2 2 2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 x2 nhỏ nhất. HD : GPT khi m =1 + Thay m =1 v ào (1) ta đ ư ợc x2 + 2x – 8 = 0  ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0  x = { - 4 ; 2 } KL : 1) x ét PT (1) : x 2 2mx 2m 6 0 (1) , với ẩn x , tham số m . ' 2 2 + Xét PT (1) có 1 m 2m 6 m 1 5 0 (luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m x1 x2 2m + Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : (I) x1 x2 2m 6 2 2 + Lại theo đề và (I) có :A = x1 + x2 2 2 2 = ( x1 + x2 ) – 2 x1x2 = ( - 2m ) + 2 ( 2m + 6 ) = 4m + 4m + 12 1 = ( 2m + 1)2 + 11 11 với mọi m => Giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi m = . 2 KL : Câu II. ( 1,5 điểm ) Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị . 2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 HD : 1) v ẽ ch ính xác và xác định đ ược giao đi ểm của (P) v à (d) l à M ( 1 ; 1) v à N ( - 2 ; 4 ) 2)T ìm đ ư ợc a = -1 v à b = 0 =>PT của là y = - x Câu III .( 2,0 điểm ) 1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km . Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đ i , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B . 2 ) Giải phương trình x 1 x x 1 x 1 HD : 1) G ọi x ( km /h ) l à v ận t ốc ng ư ời đi xe đ ạp t ừ A -> B ( x > 0 ) . L ý luận đ ưa ra 24 24 1 PT : => x = 12 ( t/m ) . KL : x x 4 2 a 2 1 2) ĐKXĐ 0 x 1 Đ ặt 0 < a = x 1 x x 1 x 2
3. a 2 1 + PT m ới l à : a + 1  a2 + 2a – 3 = 0  ( a – 1 )( a + 3 ) = 0  a = { -3 ; 1 } 2 => a = 1 > 0 + Nếu a = 1 = > x 1 x 1 x = { 0 ; 1 } ( t/m) KL : Câu IV . ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M . 1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC . 3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC HD : HS tự vẽ hình 1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp => A, B ,C,D , M nằm trên cùng một đường tròn 2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD + Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC 1 3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD => OK//AH và OK = AH 2 OK 1 hay (*) AH 2 + Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => OK 1 GK AG 2GK , từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC AH 2 AG Câu V .( 2, 0 điểm ) 1)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 .2)Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau . Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau 1) HD: Giá trị nhỏ nhất của P là 2013 khi a =b = 1 2) Gọi 6 th ành phố đã cho l à A,B,C,D,E,F + X ét thành phố A .theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất 3 thành phố liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( v ì nếu số thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không vượt quá 4 ) . Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau : Khả năng 1 : số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A . Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau . Khi đó 2 thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .
4. Khả năng 2 : số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên lạc được với A là D,E,F . Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc được với nhau ( v ì D,E không liên lạc được với A ) Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên lạc được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau . Vậy ta có ĐPCM Cho tập A = { 1 ; 2 ; 3 ; .; 16 } . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a2 +b2 là một số nguyên tố HD : Nếu a , b chẵn thì a2 + b2 là hợp số . Do đó nếu tập con X của A có 2 phần tử phân biệt a,b m à a2 + b2 là số nguyên tố thì X không thể chỉ chứa các số chẵn => K 9 Bây giờ ta đi chứng minh K = 9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm của bài toán . Thật vậy với tập con X gồm 9 phần tử bất kì của A luôn tồn tại 2 phần tử phân biệt a,b m à a2 + b2 l à số nguyên tố . Thật vậy : ta chia tập hợp A thành các cặp 2 phần tử phân biệt a , b mà a2 + b2 là số nguyên tố ,ta có tất cả 8 cặp l à : ( 1;4) , ( 2;3) , ( 5;8) , ( 6;11) , ( 7; 10) , ( 9 ;16 ) , ( 12 ;13) , ( 14 ; 15 ) . Theo nguyên lí Dirichlet thì 9 phần tử của X có 2 phần tử cùng thuộc một cặp => ĐPCM