Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội môn Toán năm 2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội môn Toán năm 2018 (Có đáp án)

1. LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2018 THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI Võ Quốc Bá Cẩn – Nguyễn Lê Phước – Nguyễn Mạnh Linh 1. Đề thi Bài 1. Cho các số thực x; y không âm thỏa mãn điều kiện .x 1/.y 1/ 2: C C D Tính giá trị của biểu thức q P x2 y2 p2.x2 1/.y2 1/ 2 xy: D C C C C C Bài 2. Cho các số thực không âm x; y; z thay đổi thỏa mãn x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 6: C C C C C D Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y z: D C C Bài 3. a) Cho a; b là hai số nguyên dương phân biệt. Xét biểu thức .a b/2 M C : D a3 ab2 a2b b3 C Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên. b) Cho a; b là hai số nguyên dương, đặt A .a b/2 2a2;B .a b/2 2b2: D C D C Chứng minh rằng A và B không đồng thời là số chính phương. Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn .O/: Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E: Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P sao cho AP vuông góc với P C: Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q: Chứng minh rằng Câua) PB lạcPQ: bộ Toán học muôn màu D b) O là trực tâm của tam giác ADE: c) PAO QAC: ∠ D ∠ 1
2. 2 Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Bài 5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp). a) Xây dựng ví dụ để S 870: D b) Chứng minh rằng S 870: Ä 2. Lời giải và bình luận các bài toán Bài 1. Cho các số thực x; y không âm thỏa mãn điều kiện .x 1/.y 1/ 2: C C D Tính giá trị của biểu thức q p P x2 y2 2.x2 1/.y2 1/ 2 xy: D C C C C C Lời giải. Đặt S x y và T xy: Từ giả thiết, ta có S T 1; suy ra D C D C D p q x2 y2 2.x2 1/.y2 1/ 2 S 2 2T 2 2.1 T/2 S 2 C C C C D C C p S 2 2.1 S/ 2 2.S 2 S 2/ D C C S 2: D Từ đó ta có P S T 1: D C D Vậy giá trị của biểu thức P cần tính là 1: Bài 2. Cho các số thực không âm x; y; z thay đổi thỏa mãn x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 6: C C C C C D Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y z: D C C Lời giải. Giá trị lớn nhất của P: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có x2y2 1 2xy; y2z2 1 2yz; z2x2 1 2zx: C  C  C  Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với x2 y2 z2; ta được CâuC C lạc bộ Toán học muôn màu .x y z/2 x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 3 9: C C Ä C C C C C C D Từ đó suy ra Q 3: Ä Mặt khác, dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 1 nên ta có kết luận max Q 3: D D D D
3. Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 3 Giá trị nhỏ nhất của P: Ta sẽ chứng minh Q p6 với dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi x p6; y z 0: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có D D D 2xy x2y2 x2 y2 x2y2 x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 6; C Ä C C Ä C C C C C D từ đó suy ra xy p7 1 < 2: Ä Chứng minh tương tự, ta cũng có yz < 2; zx < 2: Do đó, ta có Q2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx x2 y2 z2 x2y2 y2z2 z2x2 6; D C C C C C  C C C C C D hay Q p6:  Vậy min Q p6: D Bài 3. a) Cho a; b là hai số nguyên dương phân biệt. Xét biểu thức .a b/2 M C : D a3 ab2 a2b b3 C Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên. b) Cho a; b là hai số nguyên dương, đặt A .a b/2 2a2;B .a b/2 2b2: D C D C Chứng minh rằng A và B không đồng thời là số chính phương. Lời giải. a) Ta có biến đổi .a b/2 M C : D .a b/.a2 b2/ C Giả sử M là số nguyên, khi đó ta có .a b /2 chia hết cho a 2 b 2 : Suy ra 2 ab chia hết cho a 2 b 2 : Điều này vô lý do C C C 0 < 2 ab a 2 b 2 .a b /2 < a 2 b 2 : D C C Vậy M không thể là số nguyên. Câub) Giả sử tồn lạc tại các số bộ nguyên dương Toána; b sao cho học.a b /2 2 muôn a 2 và .a b /2 2 màu b 2 đều là số chính phương. Trong các cặp số nguyên dương C.a; b /như vậy, ta xétC cặp sao cho a nhỏ nhất. Đặt .a b /2 2 a 2 x 2 ; .a b /2 2 b 2 y 2 C D C D
4. 4 Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên ĐHSP Hà Nội với x ; y nguyên dương. Ta có .a b /2 x 2 2 a 2 C D nên a b và x cùng tính chẵn lẻ, suy ra .a b /2 x 2 chia hết cho 4 : Từ đó ta có 2 a 2 chia hếtC cho 4 ; suy ra a chia hết cho 2 : C Chứng minh tương tự, ta cũng có b chia hết cho 2 ; suy ra x ; y chẵn. Từ đó, ta có Â a b Ã2  a Á2  x Á2 Â a b Ã2 Â b Ã2  y Á2 2 ; 2 2 C 2 2 D 2 2 C 2 2 D 2 a b
   đều là số chính phương. Do đó cặp số 2 ; 2 cũng thỏa mãn yêu cầu. Điều này mâu thuẫn với cách chọn cặp .a; b /: Vậy với mọi a; b nguyên dương, các số A;B không thể đồng thời là số chính phương. Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn .O/: Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E: Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P sao cho AP vuông góc với PC: Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q: Chứng minh rằng a) PB PQ: D b) O là trực tâm của tam giác ADE : c) PAO QAC: ∠ D ∠ Lời giải. a) Ta có ∠BP Q ∠BOC và ∠P QB ∠OP Q ∠OBC nên các tam giác PBQ và OCB đồng dạng (g-g).D Mà OB OC nênD ta có PB D PQ: D D A O T P E Q B C D Câu lạc bộ Toán học muôn màu
5. Lời giải đề toán chuyên lớp 10/2018 – THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 5 b) Ta có ∠OBE ∠OCE ∠OAC; mà ∠OBA ∠OAB nên ∠EAB ∠EBA: Từ đó suy ra EA EB:DLại có OAD OB nên OE AB:D D D D ? Chứng minh tương tự, ta cũng có OD AC nên O là trực tâm của tam giác ADE: ? c) Gọi T là giao điểm thứ hai của CP và .O/: Ta có ∠BP C ∠BOC 2∠BTC nên PT PB: Mà PB PQ nên PT PQ: Mà APQ 90 nênD D D D D ∠ D ı 1 PAQ PAT 90ı ATP 90ı ABC 90ı AOC OAC: ∠ D ∠ D ∠ D ∠ D 2∠ D ∠ Từ đó, ta có PAO QAC: ∠ D ∠ Bài 5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp). a) Xây dựng ví dụ để S 870: D b) Chứng minh rằng S 870: Ä Lời giải. a) Chia 45 người thành 9 nhóm, nhóm thứ i có i người .1 i 9/. Ta xét ví dụ khi mỗi người ở một nhóm đều quen tất cả mọi người ở nhóm khác, nhưngÄ khôngÄ quen ai ở chính nhóm mình. Nói cách khác, mỗi người ở nhóm i quen đúng 45 i người khác. Khi đó 1 S .1 44 2 43 9 36/ 870: D 2
   C
   C
   
   
   C
   D b) Gọi ai là số người quen đúng i người khác (1 i 44). Nếu một người P quen i người Ä Ä thì anh ta không quen ai trong ai người này, nghĩa là P quen nhiều nhất 45 ai người, hay i 45 ai , suy ra ai 45 i . Ta có a1 a44 45 và Ä Ä C
   
   
   C D 1 S .a1 2 a2 44 a44 / D 2 C C
   
   
   C 1 .36a1 36a2 36a36 37a37 44 a44 / Ä 2 C C
   
   
   C C C
   
   
   C 1 .36.a1 a2 a44 / a37 2 a38 8a44 / D 2 C C
   
   
   C C C C
   
   
   C 1 .36 45 1 8 2 7 8 1/ Ä 2
   C
   C
   C
   
   
   C
   870: D CâuKhẳng định đượclạc chứng minh.bộ Toán học muôn màu