Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT - Môn Toán học

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT - Môn Toán học

1. ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 TG: 120 phút Ngày thi: 11/6/2021 (Môn thi thứ 3: Môn anh văn) Bài 1: ( 2,0 điểm) x 1 1 2 x 1 1. Cho biểu thức: P : Với ( x > 0; ) x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của P khi x 4 2 3 x 2y 6 2. Giải hệ phương trình: 2x 3y 7 Bài 2: ( 2,0 điểm) 1. Cho phương trình: x2 – ( m + 3)x – 2m2 + 3m = 0 ( m là tham số). Hãy tính giá trị của m để x = 3 là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình ( nếu có). 2. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ( 2m + 1)x – 2m ( m là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A(x1, y1); B(x2, y2) sao cho y1 + y2 – x1.x2 = 1 Bài 3: ( 1,5 điểm) Một xe máy khởi hành tại địa điểm A đi đến địa điểm B cách A 160 km, sau đó 1 giờ, một ô tô đi từ B đến A. Hai xe gặp nhau tại địa điểm C cách B 72 km. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 20 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có A· CB 900 nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC tại D, cắt cung lớn BC tại E. Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE. a) Chứng minh tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh MF  AE . c) Đường thẳng MF cắt AC tại Q. Đường thẳng AC cắt AD, AB lần lượt tại I và K. Chứng minh: 0 EC EK E· QA 90 và . IC IK Bài 5: ( 1,0 điểm) 1 1 1 1 Cho a, b, c là các số dương thõa 2 . Chứng minh rằng abc 1 a 1 b 1 c 8 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2,0 điểm) x 1 1 2 x 1 1. Cho biểu thức: P : Với ( x > 0; ) x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P.
2. x 1 1 2 P : x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 2 : x 1 x 1 x x x 1 x 1  x 1 x 1 x 1 x 1 2 b) Ta có: x 4 2 3 3 1 x 1 4 2 3 1 5 2 3 Khi đó: P x 1 2 3 3 1 1 x 2y 6 2. Giải hệ phương trình: 2x 3y 7 x 2y 6 2x 4y 12 y 5 y 5 2x 3y 7 2x 3y 7 2x 3.5 7 x 4 x 4 Vậy nghiệm của hệ Phương trình là: y 5 Bài 2: ( 2,0 điểm) 1. Cho phương trình: x2 – ( m + 3)x – 2m2 + 3m = 0 ( m là tham số). Khi x = 3, ta có phương trình: 9 – ( m +3).3 – 2m2 + 3m = 0 9 -3m – 9 – 2m2 + 3m = 0 m = 0 Theo Vi-et, ta có: b m 3 x x m 3 1 2 a 1 Do đó: x2 3 0 3 x2 0 Vậy: m = 0, nghiệm còn lại của phương trình x2 = 0 2. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = ( 2m + 1)x – 2m ( m là tham số). Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = ( 2m + 1)x – 2m x2 - ( 2m + 1)x + 2m = 0 (*) Biệt thức: 2 b2 4ac 2m 1 4.2m 4m2 4m 1 8m 4m2 4m 1 2m 1 2 0m 1 Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi m 2 1 Hay: (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi m 2 2 2 Với x1, x2 là các hoành độ giao điểm của (P) và (d) thì y1 x1 , y2 x2
3. Khi đó: y1 + y2 – x1.x2 = 1 2 2 x1 x2 x 1 x2 1 2 x1 x2 3.x 1.x2 1 0 Theo Vi-et, ta có: b 2m 1 x x 2m 1 1 2 a 1 c 2m x .x 2m 1 2 a 1 2m 1 2 3.2m 1 0 4m2 4m 1 6m 1 0 4m2 2m 0 1 m = 0 hoặc m ( loại) 2 Vậy khi m = 0 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A(x1, y1); B(x2, y2) sao cho y1 + y2 – x1.x2 = 1 Bài 3: ( 1,5 điểm) Gọi x ( km/h) là vận tốc của xe máy. ĐK x > 0 Vận tốc của ô tô là: x +20(km/h) 88 Thời gian của xe máy đi là ( giờ) x 72 Thời gian của ô tô đi là ( giờ) x 20 Theo đề bài ta có phương trình: 88 72 1 x x 20 88 x 20 72x x x 20 88x 1760 72x x2 20x x2 4x 1760 0 x1= 40; x2 = - 44 ( loại) Vậy: Vận tốc của xe máy là 40 Km/h Vận tốc của ô tô là 60 Km/h Bài 4: (3,5 điểm) a) Chứng minh tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp. Ta có: B· FE B· HE 900 (gt) Hai điểm H và F cùng nhìn đoạn BE dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác BEHF nội tiếp trong đường tròn đường kính BE. b) Chứng minh MF  AE . Tương tự: Tứ giác BEFM nội tiếp Ta có: B· ED B· DE 900 F· EA F· AE 900 Mà: B· DE F· AE ( Cùng chắn B»E ) B· ED F· EA Mặt khác: B· ED B· FM ( Cùng chắn B¼M )
4. E F· EA F· BH ( Cùng chắn F»H ) Do đó: B· FM F· BH Cùng chắn F»H ) H Suy ra: BH//MF Ngoài ra: BH  AE Q Vậy: MF  AE 0 EC EK O F A c) Chứng minh: E· QA 90 và . K IC IK » B Ta có: D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC I Suy ra: B· AD C· AD M Hay: AD là tia phân giác của B· AC D C Mà: AD  AE (E· AD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Do đó: AE là tia phân giác góc ngoài đỉnh A của tam giác ABC Trong tam giác FAQ có AE vừa là đường cao vừa đường phân giác nên cân tại A. AF AQ ; AE là trung trực của FQ FAE QAE (c c c) E· FA E· QA 900 Trong AKC có AI là tia phân giác trong, AE là tia phân giác góc ngoài đỉnh A. IK AK EK AK IK EK IC AC ; EC AC ; IC EC EC EK Vậy : IC IK Bài 5: ( 1,0 điểm) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c 2 2 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c Áp dụng BĐT cosi: 1 b c bc 2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c Tương tự: 1 a c ac 2 1 b 1 a 1 c 1 a 1 c 1 b a ba 2 1 c 1 b 1 a 1 b 1 a Nhân từng vế 3 BĐT ta được:
5. 1 1 1 a2b2c2   8 1 a 1 b 1 c 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 1 8abc abc 8 a b c a b c 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 1 1 3 a b c 2 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a