Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT - Môn thi: Toán - Năm 2017 - 2018

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT - Môn thi: Toán - Năm 2017 - 2018

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 3x y 5 1) (2x 1)(x 2) 0 2) 3 x y Câu 2 (2,0 điểm) 1) Cho hai đường thẳng (d): y x m 2 và (d’): y (m2 2)x 3 . Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau. x x 2 x 1 x 2) Rút gọn biểu thức: P = : với x 0; x 1; x 4 . x x 2 x 2 x 2 x Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? 2) Tìm m để phương trình: x2 5x 3m 1 0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 3 3 x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3x1x2 75 . Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB. 1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: MN2 = NF.NA và MN = NH HB2 EF 3) Chứng minh: 1 . HF2 MF Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất a 1 b 1 c 1 của biểu thức: M = . 1 b2 1 c2 1 a2 Hết Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu Nội dung chính Điểm 1.1 Giải phương trình: (2x 1)(x 2) 0 1,0 2x 1 0 Ta có: (2x 1)(x 2) 0 0,25 x 2 0 1 Với 2x 1 0 x 0,25 2 Với x 2 0 x 2 0,25 1 Vậy phương trình có hai nghiệm: x ; x 2 0,25 2 3x y 5 (1) 1.2 Giải hệ phương trình sau: 1,0 3 x y (2) Từ phương trình (2) thay y 3 x vào phương trình (1) ta được: 3x 3 x 5 0,25 x 1 0,25 Với x 1 y 2 0,25 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: 0,25 y 2 Cho hai đường thẳng (d): y x m 2 và (d’): y (m2 2)x 3 . Tìm m để (d) và (d’) 2.1 1,0 song song với nhau. 1 m2 2 Để hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau thì: 0,25 m 2 3 m2 1 0,25 m 1 m 1 0,25 m 1 m 1. Vậy m = -1 là giá trị cần tìm. 0,25 x x 2 x 1 x 2.2 Rút gọn biểu thức: P = : với x 0; x 1; x 4 . 1,0 x x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 1 x Ta có: P = : 0,25 ( x 1)( x 2) x( x 2) 2 x x x 2 x( x 1) 2 x = . 0,25 ( x 1)( x 2) 1 x 2 2 x = 0,25 ( x 1)( x 1) 2(1 x) 2 = 0,25 ( x 1)( x 1) x 1 Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất 3.1 1,0 được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy. ĐK: x, y N * . 0,25
3. Theo giả thiết ta có: x y 900 (1) Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai: Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máy 0,25 Theo giả thiết ta có: 1,1x 1,12y 1000 (2) x y 900 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 0,25 1,1x 1,12y 1000 x 400 Giải hệ phương trình được (thỏa mãn) y 500 0,25 Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết. Tìm m để phương trình: x2 5x 3m 1 0(x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm 3.2 3 3 1,0 x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3x1x2 75 . 29 Để PT có hai nghiệm x ; x thì: 25 12m 4 0 29 12m 0 m 0,25 1 2 12 3 3 2 Ta có: x1 x2 3x1x2 75 (x1 x2 )[(x1 x2 ) x1x2 ] 3x1x2 75 0 (*) x1 x2 5 Theo định lý Vi-et ta có: thay vào (*) ta được 0,25 x1x2 3m 1 (x1 x2 )(26 3m) 3(3m 26) 0 (x1 x2 3)(26 3m) 0 26 m 3 x1 x2 3 0 0,25 26 Kết hợp với điều kiện thì m = không thỏa mãn. 3 x1 x2 3 0 x1 1 Kết hợp x1 x2 3 0 với hệ thức Vi - et ta có hệ: x1 x2 5 x2 4 . x x 3m 1 5 0,25 1 2 m (t / m) 3 5 Vậy m = là giá trị cần tìm. 3 4.1 Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn 1,0 Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1). A E F M O 0,25 N H B Ta có M· AO 900 , M· BO 900 (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính) 0,25 Suy ra: M· AO M· BO 1800 0,25 Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 0,25 4.2 Chứng minh: MN2 = NF.NA và MN = NH 1,0 Ta cóAE / /MO ·AEM E· MN , mà ·AEM M· AF 0,25 · · suy ra EMN MAF
4. NMF và NAM có: M· NA chung; E· MN M· AF nên NMF đồng dạng với NAM 0,25 NM NA NM 2 NF.NA 1 NF NM Mặt khác có: ·ABF ·AEF ·ABF E· MN hay H· BF F· MH MFHB là tứ giác nội tiếp 0,25 F· HM F· BM F· AB hay F· HN N· AH Xét NHF và NAH có: ·ANH chung; N· HF N· AH NHF đồng dạng NAH NH NA 0,25 NH 2 NF.NA 2 NF NH Từ (1) và (2) ta có NH = HM HB2 EF 4.3 Chứng minh: 1 . 1,0 HF 2 MF · · · Xét MAF và MEA có: AME chung, MAF MEA 0,25 suy ra MAF đồng dạng với MEA ME MA AE ME AE 2 (3) MA MF AF MF AF 2 0,25 Vì MFHB là tứ giác nội tiếp M· FB M· HB 900 B· FE 900 và ·AFH ·AHN 900 ·AFE B· FH AEF và HBF có: E· FA B· FH ; F· EA F· BA suy ra AEF đồng dạng với HBF 0,25 AE HB AE 2 HB2 2 2 (4) AF HF AF HF Từ (3) và (4) ta có ME HB2 MF FE HB2 FE HB2 HB2 FE 0,25 1 1 MF HF 2 MF HF 2 MF HF 2 HF 2 MF Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 5 a 1 b 1 c 1 1,0 biểu thức: M = . 1 b2 1 c2 1 a2 2 2 a 1 b (a 1) 2 a 1 b (a 1) ab b Vì: 2 a 1 2 ; 1 b 2b nên 2 a 1 a 1 1 b 1 b 1 b 2b 2 0,25 b 1 bc c c 1 ca a Tương tự: b 1 ; c 1 1 c2 2 1 a2 2 (a b c) (ab bc ca) 3 (ab bc ca) Suy ra M a b c 3 3 0,25 2 2 Chứng minh được: 3(ab bc ca) (a b c)2 9 ab bc ca 3 3 (ab bc ca) 0,25 0 . Suy ra M 3. 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 0,25 Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3. Ghi chú: - Thực tế học sinh có thể có cách làm khác. Nếu học sinh làm đúng, cách làm phù hợp thì phần đó vẫn đạt điểm tối đa.