Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT môn thi: Toán

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1)2x 1 0 . x 3 2y 2) . y 1 2x 3)x4 8x2 9 0 . Câu II (2,0 điểm) 2 1) Rút gọn biểu thức A ( a 2) a 3 a 1 9a với a 0 . 2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60 km. Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau. Sau khi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi sửa xe xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước 4 km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai. Tính vận tốc hai người đi lúc đầu. Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các giá trị của m để phương trình x2 2(m 1)x m2 3 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Cho hai hàm số y (3m 2)x 5 với m 1 và y x 1 có đồ thị cắt nhau tại điểm A(x; y) . Tìm các giá trị của m để biểu thức P y2 2x 3 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. 1) Chứng minh ACBD là hình chữ nhật. 2) Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ. Chứng minh H là trung điểm của OA. 3) Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1,a2 ,a3, ,a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 1 89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau. Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HẢI DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Giải phương trình 2x 1 0 0,50 Pt 2x 1 0,25 1 x 0,25 2 x 3 2y I 2 Giải hệ phương trình 0,50 y 1 2x x 2y 3 Hệ 0,25 2x y 1 Tìm được x y 1 0,25 I 3 Giải phương trình x4 8x2 9 0 1,00 Đặt t x2 ,t 0 ta được t 2 8t 9 0 0,25 t 1 Giải phương trình tìm được 0,25 t 9 t 9 0 (Loại) 0,25 t 1 x2 1 x 1 0,25 2 II 1 Rút gọn biểu thức A ( a 2) a 3 a 1 9a với a 0 . 1,00 a 2 a 3 a a 6 0,25 2 a 1 a 2 a 1 0,25 A a a 6 (a 2 a 1) 3 a 0,25 A 7 0,25 II 2 Tính vận tốc hai người đi lúc đầu 1,00 Gọi vận tốc hai người đi lúc đầu là x km/h (x > 0) 60 0,25 Thời gian đi từ A đến B của người thứ hai là h x Quãng đường người thứ nhất đi được trong 1 giờ đầu là x (km) Quãng đường còn lại là 60 – x (km) 60 x 0,25 Thời gian người thứ nhất đi quãng đường còn lại là h x 4 1 60 1 60 x 20' h . Theo bài ra ta có: 1 0,25 3 x 3 x 4
3. 60.3. x 4 4.x. x 4 3.x. 60 x 2 x 20 x 16x 720 0 0,25 x 36 Do x 0 nên x 20 . Vậy vận tốc hai người đi lúc đầu là 20 km/h 2 2 III 1 Tìm m để x 2(m 1)x m 3 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép 1,00 2 2 ' (m 1) (m 3) 2m 4 0,25 Phương trình có nghiệm kép ' 2m 4 0 m 2 0,25 Nghiệm kép là x1 x2 m 1 0,25 m 2 Vậy thì phương trình có nghiệm kép là x1 x2 1 0,25 Cho hai hàm số y (3m 2)x 5 và y x 1 có đồ thị cắt nhau tại III 2 1,00 điểm A(x; y) . Tìm m để biểu thức P y2 2x 3 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 Với m 1 hai đồ thị cắt nhau tại điểm A ; 1 0,25 m 1 m 1 2 2 2 2 P y 2x 3 1 2 3 0,25 m 1 m 1 2 Đặt t ta được P t 2 4t 2 (t 2)2 6 6,t 0,25 m 1 2 P 6 t 2 2 m 0 m 1 0,25 Vậy m 0 thì biểu thức P y2 2x 3 đạt giá trị nhỏ nhất IV 1 Chứng minh ACBD là hình chữ nhật 1,00 B B D D O O C C H A E P A Q F Hình vẽ ý 1 Hình vẽ ý 2 và 3 Vẽ đúng hình ý 1 0,25 ·ACB ·ADB 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 C· AD C· BD 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 Suy ra Chứng minh ACBD là hình chữ nhật 0,25
4. IV 2 Chứng minh H là trung điểm của OA 1,00 Tam giác BEF vuông tại B có đường cao BA nên AB2 = AE. AF AE AB AE AB AE AB ; 0,25 AB AF 2OA 2AQ OA AQ · · 0 EAO BAQ 90 AEO đồng dạng với ABQ 0,25 ·AEO ·ABQ . Mặt khác H· PF ·ABQ (góc có cạnh tương ứng vuông 0,25 góc) nên ·AEO H· PF . Hai góc này ở vị trí đồng vị nên PH // OE P là trung điểm của EA H là trung điểm của OA 0,25 IV 3 Xác định vị trí của CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất 1,00 AB.PQ R Ta có S R.PQ R(AP AQ) (AE AF) 0,25 BPQ 2 2 R .2 AE.AF 2 0,25 2 2 2 R. AB R.AB 2R . S BPQ 2R AE AF 0,25 BEF vuông cân tại B BCD vuông cân tại B CD  AB 2 0,25 Vậy S BPQ đạt giá trị nhỏ nhất là 2R khi CD  AB Cho 2015 số nguyên dương a1,a2 ,a3, ,a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 1 V 89. Chứng minh rằng trong 2015 số 1,00 a1 a2 a3 a2015 nguyên dương đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau. Giả sử trong 2015 số nguyên dương đã cho không có 2 số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, ta sắp xếp các số đó như sau: 0,25 a1 a2 a3 a2015 a1 1,a2 2,a3 3, ,a2015 2015 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 a1 a2 a3 a2015 1 2 3 2015 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2015 0,25 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2014 2013 2015 2014 1 2 2 1 3 2 2014 2013 2015 2014 1 2 2015 1 89 1 1 1 1 0,25 89 . Vô lý. Do đó trong 2015 số a1 a2 a3 a2015 nguyên dương đã cho, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.