Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên - Môn: Toán (chuyên toán)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên - Môn: Toán (chuyên toán)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) a a 6 1 a) Rút gọn biểu thức: A = (với a ≥ 0 và a ≠ 4). 4 a a 2 28 16 3 b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức: P (x2 2x 1)2012 . 3 1 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3(1 x) 3 x 2 . 2 x xy 4x 6 b) Giải hệ phương trình: 2 y xy 1 Câu 3: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số). a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2. Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 2 cm. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn. b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BD và EF. Tính độ dài đoạn thẳng ID. c) M là điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. 3 Gọi S1 là diện tích tam giác CME, S2 là diện tích tam giác AMN. Xác định vị trí điểm M để S S . 1 2 2 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 1
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn này gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a a 6 1 (1,5 điểm) a) (0,75) A = (a ≥ 0 và a ≠4) 4 a a 2 ( a 2)( a 3) 1 A = 0,25 (2 a )(2 a ) a 2 a 3 1 0,25 = 2 a 2 a 0,25 = −1 28 16 3 b) (0,75) Cho x . Tính: P (x2 2x 1)2012 3 1 (4 2 3)2 4 2 3 ( 3 1)2 x = 3 1 0,25 3 1 3 1 3 1 0,25 x2 2x 1 1 2 2012 P (x 2x 1) 1 0,25 Câu 2 a) (1,0) Giải phương trình: 3(1 x) 3 x 2 (1) (2,0 điểm) Bình phương 2 vế của (1) ta được: 3(1 x) 3 x 2 3(1 x)(3 x) 4 0,25 3(1 x)(3 x) 1 x 3(1 x)(3 x) 1 2x x2 0,25 0,25 x2 x =x 1 hoặc2 0x =−2 Thử lại, x = −2 là nghiệm . 0,25 2 x xy 4x 6 (1) b) (1,0) Giải hệ phương trình: (I) 2 y xy 1 (2) Nếu (x;y) là nghiệm của (2) thì y ≠ 0. 0,25 y2 1 Do đó: (2) x (3) 0,25 y Thay (3) vào (1) và biến đổi, ta được: 4y3 + 7y2 + 4y + 1 = 0 0,25 (y + 1)(4y2 + 3y + 1) = 0 (thí sinh có thể bỏ qua bước này) y = – 1 y = – 1 x = 2 2
3. Vậy hệ có một nghiệm: (x ; y) = (2 ; −1). 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 3 a) (0,75) (P): y = − x2 , (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): − x2 = (3 − m)x + 2 − 2m. x2 + (3 − m)x + 2 − 2m = 0 (1) 0,25 = (3−m)2 − 4(2 − 2m) = m2 + 2m + 1 0,25 Viết được: = (m + 1)2 > 0, với m ≠ − 1 và kết luận đúng. 0,25 b) (0,75) Tìm m để |yA − yB| = 2 . Giải PT (1) được hai nghiệm: x1 = − 2 và x2 = m − 1 0,25 2 Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1) 2 |yA − yB| = |y1 − y2| = |m −2m−3| 2 2 |yA − yB| = 2 m − 2m − 3 = 2 hoặc m −2m − 3 = −2 0,25 m = 1 6 hoặc m = 1 2 0,25 Câu 4 a) (1,0) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp trong đường tròn. (4,0 điểm) Ta có: A· DB A· CB 0,25 A· EC A· CB ( cùng phụ với B· AC ) 0,25 A· DB A· EC 0,25 tứ giác EBDF nội tiếp 0,25 b) (1,5) Tính ID Tam giác AEC vuông tại C và BC  AE nên: BE.BA = BC2 0,25 BC2 BE 1 0,25 BA IB BE 1 0,25 BE//CD ID CD 4 BD 3 0,25 ID 4 4 ID BD và tính được: BD = 2 5 0,25 3 3
4. 8 5 0,25 ID (cm) 3 Câu Nội dung Điểm Câu 4 3 c) (1,5 điểm) Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 (tt) 2 Đặt AM = x, 0 < x < 4 0,25 MB = 4− x , ME = 5 − x 0,25 AN AM BC.AM 2.x Ta có: AN 0,25 BC MB MB 4 x 1 1 x2 0,25 S BC.ME 5 x , S AM.AN 1 2 2 2 4 x 2 0,25 3 3 x 2 S1 = S2 5− x = . x + 18x − 40 = 0 2 2 4 x x = 2 (vì 0 < x < 4) 0,25 Vậy M là trung điểm AB . 4