Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Dự bị 1 khối A - 2006

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Dự bị 1 khối A - 2006

1. ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2006 (ÑEÀ DÖÏ TRÖÕ) Ñeà DÖÏ BÒ 1 – khoái A – 2006 Phaàn Chung Cho Taát Caû Caùc Thí Sinh Caâu I (2 ñ) 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá xx2 ++25 y = (C) x+1 2) Döïa vaøo ñoà thò (C), tìm m ñeå phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm döông phaân bieät x2 + 2x + 5 = (m2 + 2m + 5)(x + 1) Caâu II (2 ñ) 232+ 1) Giaûi phöông trình: cos3x cos3x – sin3x sin3x = 8 2 ⎪⎧()()xyyxy++14 + = 2) Giaûi heä phöông trình: (,x yR∈ ) ⎨ 2 ⎩⎪()()xyxy++−=12 Caâu III (2 ñ) Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Oxyz. Cho hình laêng truï ñöùng ABC A′BC′′ coù A(0, 0, 0) ; B(2, 0, 0) ; C(0, 2, 0) ; A′ (0, 0, 2) 1) Chöùng minh A′ C vuoâng goùc vôùi BC. Vieát phöông trình mp (AB C′ ) 2) Vieát phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng B′C′ treân mp (AB C′ ) Caâu IV (2 ñ) 6 dx 1) Tính tích phaân: I = ∫ 2 21x++ 41x + 2) Cho x, y laø caùc soá thöïc thoûa maõn ñieàu kieän: x2 + xy + y2 ≤ 3. Chöùng minh raèng: −43−≤ 3xxyy22 − − 3 ≤ 43 − 3 Phaàn töï choïn: Thí sinh choïn caâu Va hoaëc caâu Vb Caâu Va (2ñ)
2. xy22 1) Trong mp vôùi heä truïc Oxy, cho elíp (E): + =1 12 2 Vieát phöông trình hypebol (H) coù hai ñöôøng tieäm caän laø y = ± 2x vaø coù hai tieâu ñieåm laø hai tieâu ñieåm cuûa elíp (E) 2)AÙp duïng khai trieån nhò thöùc Newton cuûa (x2 + x)100, chöùng minh raèng: 99 100 198 199 0 ⎛11⎞1 ⎛⎞ 99 ⎛ 1⎞100 ⎛⎞1 100CC100 ⎜⎟−+ 101 100 ⎜⎟ −199 C100 ⎜⎟ +200C100 ⎜⎟ =0 ⎝⎠2⎝⎠2⎝⎠ 2 ⎝⎠ 2 k (Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ) Caâu Vb (2 ñ) 1) Gi aûi baát phöô ng trình: logx + 1(-2x) > 2 2) Ch o hìn h hoäp ñöùng ABCD. A′BCD′′′ coù caùc caïnh AB = AD = a, a 3 A A′ = vaø goùc BAD = 600. Goïi M vaø N l aàn löôït laø trung ñieåm 2 cuûa caùc caïnh A′D′ vaø A′B′ . Chöùng minh A C′ vuoâng goùc vôùi mp (BDMN). Tính theå tích khoái choùp A.BDMN Baøi giaûi x2 +25x+ 1/ KS y= , MXÑ: D=R/{−1} x +1 xx2 +−23 y’= , y’=0 ⇔ x=1 hay x=-3 ()x +1 2 TC: x=1, y=x+1 x - ∞ -3 -1 1 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y -4 + ∞ +∞ -∞ -∞ 4 2/ Tìm m ñeå pt coù 2 nghieäm dö ông phaân bieät. Vì x >0, pt ñaõ cho xx2 ++25 ⇔ =+mm2 25+ x +1
3. Soá nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò haøm xx2 ++25 soá y = , x > 0, vôùi ñöôøng thaúng y= mm2 +25+ . Töø BBT x +1 cuûa (C) vaø y(0) ta suy ra ⎧ m≠−1 2 ⎪ ycbt ⇔ 4255 ⎨ ⎩⎪−20<<m Caâu II 232+ 1/Giaûi pt: cos3x.cos3x-sin3x.sin3x= (1) 8 232+ (1) ⇔ cos3x(c os3x+ 3cos x)-s in3x(3sinx - sin3x)= 2 32 ⇔ cos23x+sin23x+3(cos3x.cosx-sin3x.sinx)= 1+ 2 2 π π π ⇔ cos4x= =cos ⇔ x= ±+k 2 4 16 2 2 ⎪⎧x ++14yy()+x = y 2/ Gæai heä phöông trình (I) ⎨ 2 ⎩⎪(x +12)()yx+− = y ⎧ x 2 +1=0 ⎪ *Khi y=0 thì (I) ⇔ ⎨ (VN) ⎪ 2 ⎩(x +120)()x−= *Khi y≠ 0 chia hai pt cho y 2 ⎧ x +1 2 ⎪ ++yx−=22 ⎧ x +1 ⎪ y ⎪ ++−=yx22 (I) ⇔ ⇔ y ⎨ 2 ⎨ ⎪ x +1 ⎪ 2 ()yx+ −=21 ⎩()()yx+ −−22 yx +−+= 210 ⎪⎩ y ( do pt toång vaø tích ) ⎧yx+−=21 ⎧x =1 ⎧x = −2 ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨ hay ⎨ ⎩x +=13 −x ⎩y = 2 ⎩y = 5 Caùch khaùc Thay y cuûa pt 2 vaøo pt 1 ta coù 22 2 ⎪⎧x++11()()()()() x + yx + − 2 yx + = 41 x + yx + − 2 ( I) ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()()xyxy++−=12
4. ⎧124++−()()(yx yx += yx +−2) 2 ⇔ ⎨ 2 ( chia 2 veá cuûa pt 1 cho 1 + x ) ⎩()()xyxy++−=12 ⎧12224+()()(yx +− yx +−+ = yx +−2) ⇔ ⎨ 2 ⎩()()xyxy++−=12 ⎧yx+−=21 ⎧x =1 ⎧x = −2 ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨ hay ⎨ ⎩x +=13−x ⎩y = 2 ⎩y = 5 Caâu III. 1/CM: A’C ⊥ BC’. Vieát phöông trình mp(ABC’) uuuur uuuur Ta coù AC/ =−(,,02 2 ), BC ' =(,,)−222 uuuur uuuur uuuur uuuur A'.CBC '=−0 .() 2+22.() − 22 .() =⇔ 0 AC ' ⊥BC'. Vì A’C ⊥ BC’, A’C ⊥ AB=> A’C ⊥ (ABC’) uuuur ⇒ AC'=−(,,02 2)laø PVT cuûa mp(ABC’) ⇒pt(ABC’): 0.(x-0)+2(y-0)-2(z-0) = 0 ⇔ y - z = 0 2/Vieát phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa B’C’ leân mp(ABC’) uuuuur uuur Ta coù BC''=BC=−(220 ,,). Goïi (α ) laø mp chöùa B’C’ vaø ⊥ (ABC’). Kh i ñoù hình c hieáu vuoâng goùc cuûa B’C’ leân mp(ABC’) laø g iao tuyeán cuûa (α ) vaø (ABC’) uur uuuuur uuuur (α ) coù PVT nBCAC==−−−=⎡⎤'',' (444 , , )− 4111 (,,) α ⎣⎦ ⇒pt(α ):1(x-0)+1(y-2)+1(z-2)=0 ⇔ x+y+z - 4=0. ⎧xyz+ +−=40 ⎪ Vaäy pt hình chieáu B’C’ leân (ABC’) laø ⎨ ⎪ ⎩ yz−=0 Caâu IV 2 6 dx t −1 1/ Tính I= Ñaët t= 41x + ⇒ t2=4x+1 ⇒x= , ∫2 21x ++ 41x + 4 tdt dx= .Ñoåi caän : t ( 2) = 3 ; t ( 6 ) = 5 2 5()tdt+−11 55dtdt⎡⎤135 1 I= =− = ln t ++1 =ln − ∫∫∫33322⎢⎥ ()ttt+++11(1)⎣⎦t +12123 2/Chöùng minh: −−≤−−≤43 3xxyy22 3 43 − 3 vôùi x2+xy+y2 Ñaët A= x2+xy+y2 , B= x2-xy-3y2
5. *Neáu y=0 thì theo gia û thieát A=x2 ≤ 3 ⇒ B=x2. Do ñoù −−≤≤ 22ba= ()2 a Töø (1),(2) suy ra a2=2,b2=8 xy22 ⇒ pt(H): −=1 28 2 100 0 100 1 101 2 102 100 200 2/ Ta coù ()x +=xCxCxCxCx100 +100 + 100 ++ 100 laáy ñaïo 1 haøm hai veá, cho x= - vaø nhaân hai veá cho (-1).Ta coù keát quaû: 2 0 111 99 1100 1 100CC()(99 −101 )100 +− 199 C ()198 +200 C ()199 =0 100 2100 2 100 2100 2 Caâu Vb 1/Giaûi pt: log x+1()−22x > (1). Vôùi ÑK: -1< x < 0 ⇒ 0 < x + 1 < 1
6. 2 (1) ⇔ logxx++11 (−>=22xx ) log ( + 1 ) vaø -1 410 ⇔ -2+ 3 AC' SO (1) Vì BD ⊥ AC vaø BD ⊥ AA’ ⇒BD ⊥ (AC C’A’) ⇒BD ⊥ AC’ ( 2) Töø (1) vaø (2) suy ra AC’ ⊥ (BDMN) 3 1 Do ñoù: VABDMN= VSABD ( vì S SMN= S SBD ) 4 4 2 31 1aa 3 3 3 = SA. S =a 3 = 43ABD 4 4 16 Haø Vaên Chöông - Phaïm Hoàng Danh - Löu Nam Phaùt ( Trung Taâm Luyeän Thi Vónh Vieãn )