Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Nguyễn Du (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Nguyễn Du (Có đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ VÀO 10 (VÒNG 2) THCS NGUYỄN DU Năm học: 2011 – 2012 Thời gian làm bài: 120 phút x x x 1 1 x 2 Bài 1 (2,5 điểm). Cho biểu thức P : x 2 x 1 x 1 x x x a) Rút gọn P . b) Tìm x để P 1 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 . Bài 2 (2,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người làm chung một công việc sau 3 giờ thì xong. Nếu họ cùng làm trong 2 giờ, sau đó người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm tiếp 4 giờ nữa mới xong. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. Bài 3 (1,0 điểm). Cho parabol P : y 3x2 và đường thẳng d : y mx 2 . a) Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn cắt parabol P với mọi giá trị của m . b) Gọi A và B là giao điểm của d và parabol P . Tính giá trị của m để tam giác AOB cân tại O (O là gốc tọa độ). Bài 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O,R . Các đường caoBD,CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn O lần lượt tại M và N . a) Chứng minh tứ giác AEHD và tứ giác BEDC nội tiếp. b) Chứng minh CA.CD CH.CE c) Chứng minh ED / /MN d) Cho B,C cố định, A chạy trên cung BC lớn. Kẻ đường kính AF của đường tròn O,R . Chứng minh HF đi qua trung điểm I của dây BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi. Bài 5 (0,5 điểm). Giải phương trình: x y 1 y x 1 xy
2. HƯỚNG DẪN GIẢI x x x 1 1 x 2 Bài 1 (2,5 điểm). Cho biểu thức P : x 2 x 1 x 1 x x x a) Rút gọn P . b) Tìm x để P 1 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 . Lời giải ĐK: x 0 ; x 1 x x x 1 1 x 2 a) P : x 2 x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 1 x 2 P 2 : x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 2 P 2 : x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 2 P 2 : x 1 x x 1 x x 1 x x 1 P 2 . x 1 x 1 x P . x 1 x x x x 1 b) Để P 1 thì 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 2 1 3 Vì x x 1 x 0 với x > 0; x 1. 2 4 Nên x 1 0 x 1 0 x 1 KHĐK x>0;x 1 Vậy 0 1 x 1 1 0 x 1
3. 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương( x 1) và ta có x 1 1 1 x 1 2 x 1 . x 1 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 4 x 1 P 4 Dầu “=” xảy ra 1 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 do x 1 0 x 2 x 4(tm) Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi x 4 Bài 2 (2,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người làm chung một công việc sau 3 giờ thì xong. Nếu họ cùng làm trong 2 giờ, sau đó người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm tiếp 4 giờ nữa mới xong. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. Lời giải Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong toàn bộ công viêc. Gọi y (h) là thời gian người thứ hai làm một mình xong toàn bộ công việc. Điều kiện: x 3, y 3 1 Trong một giờ, người thứ nhất làm được : (công việc) x 1 Trong một giờ, người thứ hai làm được: (công việc) y 1 Trong một giờ, cả hai cũng làm được : (công việc) 3 1 1 1 Ta có phương trình: (1) x y 3
4. Vì họ cùng làm trong 2 giờ, sau đó người thứ nhất nghỉ, người thứ hai làm tiếp 4giờ nữa mới xong nên người thứ nhất làm trong 2 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì xong công 1 1 việc nên ta có phương trình: 2. 6. 1 (2) x y 1 1 1 1 1 x y 3 x 4 x 4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: . 1 1 1 1 y 12 2. 6. 1 x y y 12 Vậy: Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là 4 giờ Thời gian người thứ hai làm một minh xong công việc là 12 giờ. Bài 3 (1,0 điểm). Cho parabol P : y 3x2 và đường thẳng d : y mx 2 . a) Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn cắt parabol P với mọi giá trị của m . b) Gọi A và B là giao điểm của d và parabol P . Tính giá trị của m để tam giác AOB cân tại O (O là gốc tọa độ). Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P : 3x2 mx 2 3x2 mx 2 0 1 Ta có: b2 4ac m2 4.3. 2 m2 24 Vì m2 0 m m2 24 0 m 0 m Nên pt 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Vậy đường thẳng d luôn cắt parabol P với mọi giá trị của m . b) Gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 là giao điểm của d và parabol P . Theo hệ thức Viet, ta có: m x x 1 2 3 2 x .x 1 2 3 Gọi C và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên Ox . Để tam giác AOB cân tại O thì OA OB OA2 OB2 CO2 AC2 DO2 BD2 (Định lý Pytago)
5. 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 2 2 2 2 2 2 x1 3x1 x2 3x2 2 4 2 4 x1 9x1 x2 9x2 2 2 4 4 x1 x2 9 x1 x2 0 2 2 2 2 2 2 x1 x2 9 x1 x2 x1 x2 0 x 2 x 2 1 9 x 2 x 2 0 1 2 1 2 x 2 x 2 0 (Vì 1 9 x 2 x 2 0 ) 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 (Loại vì A B ) x1 x2 x1 x2 m 0 x1 x2 0 3 m 0 x .x 0 2 1 2 0 3 Vậy m 0 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O,R . Các đường caoBD,CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn O lần lượt tại M và N . a) Chứng minh tứ giác AEHD và tứ giác BEDC nội tiếp. b) Chứng minh CA.CD CH.CE c) Chứng minh ED / /MN d) Cho B,C cố định, A chạy trên cung BC lớn. Kẻ đường kính AF của đường tròn O,R . Chứng minh HF đi qua trung điểm I của dây BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi. Lời giải
6. a) Ta có BD là đường cao A M B· DA B· DC 900 CE là đường cao C· EB C· EA 900 D +) A· DB A· EC 1800 mà A· DB và N O A· EC ở vị trí đối nhau nên tứ giác E H AEHD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) B I C +) B· EC B· DC 900 mà 2 góc này có F đỉnh liền kề nhau, cùng nhìn cạnh BC dưới một góc không đổi nên tứ giác BEDC nội tiếp. b) Xét ACE và HCD , ta có: A· EC H· DC 900 Cµ chung AEC∽ HDC (g.g) AC EC (tỉ số cạnh tương ứng) HC DC CA.CD CH.CE c) Ta có tứ giác BEDC nội tiếp E· CB E· DB (cùng chắn cung B»E ) Mà E· CB N· CB N· MB (cùng chắn N»B ) N· MB E· DB mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra ED / /MN d) + Vì BH / /FC (cùng vuông góc với AC ) Vì CH / / BF (cùng vuông góc với AB ) Tứ giác BHCF là hình bình hành. Vậy HF cắt BC tại trung điểm I của BC . + Vì tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH Tam giác AED nội tiếp đường tròn đường kính AH Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AED là trung điểm của AH 1 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE bằng .AH 2 + Trong tam giác AFH có OI là đường trung bình của tam giác AFH . 1 OI .AH. 2
7. BC2 Lại có: OI BO2 BI2 R 2 4 Mà BC không đổi nên OI không đổi Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED không đổi. Bài 5 (0,5 điểm). Giải phương trình: x y 1 y x 1 xy Lời giải Điều kiện: x, y 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si: 1 y 1 x 1.(y 1) x. 2 1 x 1 y 1.(x 1) y. 2 x 1.(y 1) y 1.(x 1) xy 1 y 1 x 2 Dấu “=” xảy ra khi x y 2. 1 x 1 y 2 Vậy nghiệm của phương trình x y 2.