Đề thi Olympic môn: Toán lớp 6

Nội dung text: Đề thi Olympic môn: Toán lớp 6

1. UBND HUYỆN KINH MÔN ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN - LỚP 6 Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A = (1+ 1 ).(1+ 1 ).(1+ 1 ) (1+ 1 ). 3 8 15 2499 1 1 1 4 4 4 1 4 2) Tính nhanh B = 3 9 27 : 7 49 343 2 2 2 1 1 1 2 1 3 9 27 7 49 343 Câu 2: (2,0 điểm) 1 1 1 1 23 1) Tìm x, biết: .x . 1.2 2.3 3.4 8.9 45 99 98 2) So sánh: E =2018 1 và F = 2018 1 . 2018100 1 201899 1 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26. 2) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0 ), biết ab ba là số chính phương. Câu 4: (3,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 6cm, OB =10cm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA, AB. Tính độ dài đoạn thẳng EF. 2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho x· Oy = 500; x· Oz = 1000. Vẽ tia Oy' là tia đối của tia Oy. Tính số đo .·y,Oz 3) Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được. Câu 5: (1,0 điểm) abc Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của A 1918 . a b c Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Giám thị 1: . Giám thị 2: 1
2. UBND HUYỆN KINH MÔN HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 6 Thời gian làm bài: 150 phút ( Hướng dẫn gồm có: 5 câu, 04 trang) Câu Ý Đáp án Biểu điểm A = (1+ 1 ).(1+ 1 ).(1+ 1 ) (1+ 1 ) 3 8 15 2499 4 9 16 2500 A = . . 0,25 3 8 15 2499 2.2 3.3 4.4 50.50 1 = . . 0,25 1.3 2.4 3.5 49.51 2.3.4 50 2.3.4 50 A = . 0,25 1.2.3 49 3.4.5 51 50 2 100 100 = . .Vậy A= 0,25 1 51 51 51 1 1 1 4 4 4 1 1 4 B = 3 9 27 : 7 49 343 2 2 2 1 1 1 2 1 3 9 27 7 49 343 1 1 1 1 1 1 2 1. 1 4. 1 3 9 27 7 49 343 B = : 0,50 1 1 1 1 1 1 2. 1 1. 1 3 9 27 7 49 343 1 1 B = : 4 2 8 0,25 Vậy B =1 8 0,25 1 1 1 1 23 .x 1.2 2.3 3.4 8.9 45 1 1 1 1 1 1 1 1 23 1 .x 1 2 2 3 3 4 8 9 45 0,25 1 1 23 .x 2 1 9 45 0,25 8 23 .x 9 45 0,25 23 8 23 23 x : . Vậy x 45 9 40 40 0,25 2
3. 201899 1 2018100 2018 Ta có E = 2018.E = 2018100 1 2018100 1 2017 2018.E = 1- 2018100 1 0,25 201899 1 201899 2018 F = 99 2018.F = 99 2 2018 1 2018 1 2017 0,25 2018.F = 1- 201899 1 2017 2017 2017 2017 Vì 1- 2018100 1 201899 1 2018100 1 201899 1 0,25 hay 2018 E > 2018 F E > F . Vậy E > F 0,25 + Với y = 2, ta có 112 = 121 > 26 y = 2 không thỏa mãn Do y là số tự nhiên nên y 0;1 0,25 + Với y = 1, ta có 5x +11 = 26 5x = 15 vì x là số tự nhiên x 0,25 1 không có giá trị nào của x thỏa mãn 5 = 15 y =1 không thỏa mãn. + Với y = 0 ta có 5x + 1 = 26 5x = 25 = 52 nên x = 2 (thỏa 0,25 mãn) 3 Vậy x = 2; y = 0 0,25 Ta có ab ba 9.(a b) . 0,25 Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 b 9.(a - b) là số chính phương khi a - b 1;4 0,25 + Với a - b =1 mà ab là số nguyên tố ta được số ab = 43 2 0,25 + Với a - b = 4 mà ab là số nguyên tố ta được số ab = 73 0,25 Vậy ab 43;73 0,25 O E A F B x Vì hai điểm A,B cùng nằm trên tia Ox mà OA<OB ( 6 cm < 10 cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B OA+AB =OB. Thay số 6 + AB = 10 AB=4 cm.Vậy AB= 4cm 0,25 Vì E là trung điểm của OA nên EA =OA . 1 2 Thay số EA = 6 : 2 = 3 cm F là trung điểm của AB nên AF = AB . 2 Thay số AF = 4 : 2 = 2 cm 0,25 Do A nằm giữa O và B, mà E là trung điểm của OA, F là trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F EF = EA + AF = 3+2 = 5cm.Vậy EF = 5cm 0,25 3
4. z y 0,25 4 O x y' 2 Vì hai tia Ox, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, mà x· Oy < x· Oz nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz 0,25 x· Oy + ·yOz =x· Oz . Thay số 500 +·yOz = 1000 ·yOz = 500 0,25 Do tia Oy' là tia đối của tia Oy ·y,Oz , ·yOz là hai góc kề bù ·y,Oz +·yOz = 1800. Thay số: ·y,Oz + 500=1800 ·y,Oz = 1300 · , Vậy y Oz = 1300 0,25 Giả sử trong 2018 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như vậy với 2018 điểm ta được 2018. 2017 = 4 070 306 0,25 đường thẳng Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là: 2 035 153 đường thẳng 0,25 Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân biệt hẳng hàng là l; 3 Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là: 3 - 1= 2 0,25 Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ được kẻ được là: 2 035 153 - 2 = 2 035 151 Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳngt 0,25 abc 100a 10b c A 1918 1918 a b c a b c 0,25 + Nếu b = c = 0 thì A = 100 + 1918 = 2018 0,25 + Nếu b hoặc c khác 0 thì 5 100a 100b 100c A 1918 100 1918 2018 a b c 0,25 Nên A 2018 . Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a 1;2; ;9 ; b = c = 0 0,25 * Chú ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Hết 4