Đề thi Olympic môn Toán 6

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán 6

1. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 6 Đề chính thức (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề) Bài 1( 4 điểm) a, Chứng tỏ 4x + 3y chia hết cho 7 khi 2x + 5y chia hết cho 7 b, Tìm các số tự nhiên có bốn chữ số sao cho khi chia nó cho 130 , cho 150 được các số dư lần lượt là 88 và 108. Bài 2 ( 5,0 điểm) : 7777 77 7777 77 123498766 a) Tính A = . 8585 85 16362 162 987661234 b, Tìm phân số lớn nhất, khi chia các phân số 24 và 18 cho nó ta đều được các 7 11 thương là số nguyên. Bài 3 (2,0 điểm) : 1 1 1 1 91 a, Cho biết S = . Chứng minh rằng < S < 101 102 130 4 330 Bài 4 (4,0 điểm): Tổng bình phương của 3 số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là 2 , giữa số thứ hai và số thứ ba là 5 . Tìm ba số 3 6 đó. Bài 5 ( 5,0 điểm) : Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy. Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của góc tOz. Vẽ tia Om sao cho tia Oy là phân giác của góc zOm. a, Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau . b, Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox, biết góc x’Om bằng 300 . Tính góc tOz . c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ và Ot ). Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?
2. Hết PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM và ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6 Bài Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm Câu a ( 2 điểm) Ta có 4x + 3y  7 4( 4x + 3 y)  7 0,5 đ Bài 1 16x + 12 y  7 (4,0 đ) 14x + 7y + 2x + 5y  7 0,5 đ Mà 14x + 7y = 7(2x + y)  7 0,5 đ Nên 2x + 5y  7 Vậy 4x + 3y  7 khi 2x + 5y  7 0,5 đ Câu b ( 2 điểm) Gọi số phải tìm là a . Ta có a + 42 chia hết cho 130 và 150 nên a + 42 là BC(130,150) 0,75đ Tìm đúng a = 1908; 3858 ;5808; 7758; 9708 ( mỗi giá trị 0,25 đ) 1,25đ Câu a ( 2,0 điểm) 7777 7777 :101 77 0,5 đ Ta có 8585 8585:101 85 7777 7777 :101 77 16362 16362 :101 162 0,5 đ Bài 2 75 75 77 77 123498766 0,5 đ A = . 85 85 162 162 987661234 123498766 ( 5,0đ) Vậy A = ( 0 + 0) . = 0 0,5 đ 987661234 Câu b(3,0 điểm) x 3 1 3 x 1 2x 1 Từ ta có: (x,y N) 9 y 18 y 9 18 18 0,5 đ
3. Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y Ư(54) = 1;2;3;6;9;18;27;54 , 0,5 đ vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. 0,5 đ Vậy y 2;6;18;54 0,5 đ Ta có bảng sau: y 2 6 18 54 0,75 đ 2x-1 27 9 3 1 x 14 5 2 1 Vậy (x;y) (14;2);(5;6);(2;18);(1;54) 0,25 đ * Chứng minh S 110 110 120 120 130 130
4. 1 1 1 1 1 1 S > 10 10 10 0,25 đ 110 120 130 11 12 13 S > 156 143 132 1716 0,25 đ S > 431 > 429 Hay S > 1 1716 1716 4 Từ (1) và (2) ta có 1 < S < 91 4 330 0,5 đ Gọi a, b, c là 3 số tự nhiên phải tìm. a 2 b 5 Theo đề bài ta có: ; ( 1) và a2 b2 c2 2596 (2) 1 đ b 3 c 6 2 6 Từ ( 1) suy ra a b; c b , thay vào (2) ta có: Bài 4 3 5 (4 đ) 4 36 b2 b2 b2 2596 9 25 1 đ 649 b2 2596 225 b2 900 1 đ 2 6 Tính được b = 30, a  30 20; c  30 36 3 5 0,75 đ Vậy 3 số tự nhiên cần tìm là: 30; 20; 36 0,25 đ y m z x’ 0,5 đ O x Bài 5 (5,0 đ) t
5. - Bài làm không có hình vẽ không cho điểm. - Hình vẽ chính xác phần a, b được 0,5 điểm Câu a : 2,0 điểm * Chứng minh góc tOz + góc zOm = 1800 Tia Oz nằm trong góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 0,25 đ 900 Theo giả thiết có các tia phân giác nên góc xOz = 1 góc tOz 2 góc zOy = 1 góc zOm 2 0,25 đ Từ đó suy ra 1 góc tOz + 1 góc zOm = 900 2 2 Hay góc tOz + góc zOm = 1800 0,5 đ * Chứng minh góc tOz và góc zOm là hai góc kề nhau: 0,5 đ * Kết luận : Cho 0,5 điểm 0,25 Câu b : 1,5 điểm Chứng minh góc tOx = mOx’ = 300 ( Cùng kề bù với góc mOx) 0,5 đ Góc tOx = góc xOz = 300 0,5 đ Góc tOz = 600 0,5 đ Câu c : 1,0 điểm Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’. Tất cả trong hình vẽ có n+6 tia phân biệt . Cứ 1 tia trong n+6 tia đó tạo với n+5 tia còn lại thành n+5 góc . 0,25 đ Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc , nhưng như thế mỗi góc
6. n 5 n 6 0,5 đ được tính 2 lần . Vậy có tất cả là góc 2 Thay = 2014 ta được số góc có là 0,25 đ (2014+6)(2014+5) : 2 = 2 039 190 góc