Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo Gia Viễn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo Gia Viễn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI KHẢO SÁT PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Mụn: Toỏn Năm học: 2014- 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề) x2 2x 2x2 1 2 Cõu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tỡm x để giỏ trị của A được xỏc định. Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. Cõu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) x(x 2)(x2 2x 2) 1 = 0 b) y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Cõu 3. (3 điểm) 1) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 2) Tỡm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 ab 3) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 Cõu 4. (6,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn tia đối của tia CD lấy điểm M bất kỡ (CM 0. Chứng minh rằng: 2 2 y x y x 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 Hết
2. UBND HUYỆN GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 PHềNG GD&ĐT GIA VIỄN Năm học 2014 - 2015 Mụn thi : TOÁN Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian giao đề (Hướng dẫn này gồm 05 cõu, 05 trang) CHÚ í : - Nếu HS làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đú - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đú Cõu Đỏp ỏn Biểu điểm x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm 2x2 8 0 2 3 0,25 điểm Giỏ trị của A được xỏc định 8 4x 2x x 0 x 0 2x2 8 x2 4 2 2 x 2 0,5 điểm 4(2 x) x (2 x) 0 (2 x)(4 x ) 0 x 0 x 0 x 0 - ĐKXĐ : x 2; x 0 0,25 điểm (Nếu HS chỉ nờu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rỳt gọn : 3,0 điểm x2 2x 2x2 1 2 Ta cú A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x 1 x2 2x 2x2 x2 x 2 (5 điểm) 2 2 2 0,75 điểm 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x (x 2 2x)(2 x) 4x 2 x 2 x 2x 2 . 2(x 2 4)(2 x) x 2 0,75 điểm 2x 2 x 3 4x 2x 2 4x 2 x(x 1) 2(x 1) . 0,75 điểm 2(x 2 4)(2 x) x 2 x(x2 4) (x 1)(x 2) x 1 . 2(x2 4)(2 x) x2 2x 0,75 điểm b) (1,0 điểm) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn. x 1 * Z x +1  2x 2x + 2  2x Mà 2x  2x 2x 0,5 điểm 2  2x 1  x x = 1 hoặc x = -1 0,25 điểm * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) x 1 Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 2x 0,25 điểm 2 Giải các phương trình sau:
3. (4 điểm) a) (1,5 điểm) x(x 2)(x2 2x 2) 1= 0 (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 0,5 điểm (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 (x2 + 2x + 1)2 = 0 0,5 điểm 0,25 điểm (x+1)4 = 0 x + 1 = 0 x = -1 0,25 điểm Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất x = -1 b) (1,5 điểm) y 2 4 x 2y 2 x 1 2 0 y2 2y 1 (2x )2 2.2x 1 0 0,5 điểm 2 x 2 0,25 điểm (y 1) (2 1) 0 0,25 điểm y + 1 = 0 hoặc 2x 1 = 0 y = -1 hoặc x = 0 0,25 điểm Vậy PT đó cho cú 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1) 0,25 điểm c) (1,0 điểm) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 0,25 điểm (x 2)2 2 (x 8)2 8 (x 4)2 4 (x 6)2 6 - PT (1) x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 0,25 điểm x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 (x 2)(x 4) (x 6)(x 8) 2x 2x 0,25 điểm (x 2)(x 4) (x 6)(x 8) x = 0 hoặc (x 2)(x 4) = (x 6)(x 8) 0,25 điểm x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48 x = 0 hoặc 8x = - 40 x = - 5 (thỏa món ĐKXĐ) Vậy PT đó cho cú 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5 1) (1,0 điểm) Tỡm số tự nhiờn n để số p là số nguyờn tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 0,25 điểm - Nếu n = 0; 1 khụng thỏa món đề bài - Nếu n = 2 thỏa món đề bài vỡ p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0,25 điểm - Nếu n > 3 khụng thỏa món đề bài vỡ khi đú p cú từ 3 ước trở lờn là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 0,25 điểm - Vậy n = 2 thỡ p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố 0,25 điểm 2) (1,0 điểm) Tỡm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 3 * g x x2 x 2 = (x -1)(x - 2) 0,25 điểm (3 điểm) 3 2 * f x ax bx 10x 4  g x f x ax3 bx2 10x 4 = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) 0,25 điểm - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta cú:
4. a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0 0,25 điểm a = 2 và b = -8 3 2 0,25 điểm Vậy f x ax bx 10x 4  g x a = 2 và b = -8 3) (1,0 điểm) ab Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0.Tính: P 4a 2 b 2 - HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a -b) = 0 b = 4a hoặc b = a 0,25 điểm - Mà 2a b 0 4a > 2b > b nờn a = b 0,25 điểm a 2 1 - Ta cú : P = 4a 2 a 2 3 0,25 điểm 1 - Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 thỡ P 0,25 điểm 3 - Hỡnh vẽ 0,25 điểm A B K H P N D C M a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 0,75 điểm 0,75 điểm - CM: DPC = BMC (cgc) - Chứng minh được BHP = 900 0,75 điểm 4 PC PH KP (6,5 điểm) b) (2,0 điểm) Tớnh Q = BC DH MK - HS CM : MP  BD 0,5 điểm 1 .DM .PC PC S - 2 PDM ; BC 1 S 0,5 điểm .DM .BC BDM 2 1 1 .DB.KP .DB.KP PH S PH S Tương tự : 2 PBM 2 PBD DH 1 S DH 1 S .DB.MK BDM .DB.MK BDM 2 2 0,5 điểm S S S Q = PDM PBM PBD 1 S BDM 0,5 điểm c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 - CM: MCP  MKD (g.g) 0,5 điểm
5. MP . MK = MC . MD (1) 0,25 điểm - CM: DBC  DKM (g.g) 0,5 điểm DK . BD = DC. DM (2) 0,25 điểm - Từ (1) và (2) MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC) 0,25 điểm MP . MK + DK . BD = DM2 0,25 điểm 1) (0,75 điểm) x y 0,25 điểm - HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0 y x x y x y -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 y x y x x y x y ( -2)( -1) ≥ 0 0,25 điểm y x y x x2 y2 x y x y 2 ( ) 2( ) 2 0 y2 x2 y x y x x 2 y 2 x y 4 3 2 2 y x y x 0,25 điểm 5 Dấu “=” xảy ra x = y > 0 (1,5 điểm) 2) (0,75 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x R (1) y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y R (2) 0,25 điểm + B xy(x 2)(y 6) 12x2 24x 3y2 18y 2045 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 0,25 điểm = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) và (3) B ≥ 2.3 + 2009 B ≥ 2015 *) B = 2015 x = 1 và y = -3 0,25 điểm *) Min B = 2015 x = 1 và y = - 3 Hết