Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán

1. UBND HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI KHẢO SÁT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2014-2015 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1. (5 điểm) x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của Ađược xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để Anhận giá trị nguyên. Câu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Câu 3. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để p là số nguyên tố biết: p n3 n2 n 1 2) Tìm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 ab 3) Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0. Tính P 4a2 b2 Câu 4. (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kỳ CM CD , vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K. a) Chứng minh: DH vuông góc với BM. PC PH KP b) Tính Q BC DH MK c) Chứng minh: MP.MK DK.BD DM 2 Câu 5. (1,5 điểm) x2 y2 x y 1) Cho x, y 0.Chứng minh rằng : 2 2 4 3 y x y x 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2x2 8 0 2 3 Giá trị của Ađược xác định 8 4x 2x x 0 x 0 2x2 8 x2 4 2 2 x 2 4 2 x x 2 x 0 2 x 4 x 0 x 0 x 0 x 0 Ta có: x2 2x 2x2 1 2 A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 . 2 2 4 2 x x 2 x x 2 x 4 2 2 x 2x 2 x 4x x2 x 2x 2 . 2 x2 4 2 x x2 2x2 x3 4x 2x2 4x2 x x 1 2 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2 x x 4 x 2 x 1 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2x b) x 1 * ¢ x 12x 2x 22x mà 2x2x 2x x 1(tm) 22x 1x x 1(tm) x 1 Vậy A ¢ x 1hoặc x 1 2x
3. Câu 2. a) x x 2 x2 2x 2 1 0 x2 2x x2 2x 2 1 0 2 x2 2x 2 x2 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 x 1 4 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 y 1 2 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 c) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 x 2 2 2 x 8 2 8 x 4 2 4 x 6 2 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5
4. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5 Câu 3. 1) Biến đổi được p n2 1 n 1 Nếu n 0;1 không thỏa mãn đề bài Nếu n 2thỏa mãn đề bài vì p 22 1 2 1 5 Nếu n 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1;n 1 1 và n2 1 n 1 1 Vậy n 2 thì p n3 n2 n 1 là số nguyên tố. 2) *g(x) x2 x 2 x 1 x 2 * f (x) ax3 bx2 10x 4g(x) f (x) ax3 bx2 10x 4 x 1 x 2 Q x (1) x ¡ - Thay x1 1; x2 2 vào 1 ta có: a b 6 0 và 8a 4b 16 0 a 2 và b 8 3 2 a 2 Vậy f x ax bx 10x 4g x b 8 3) Biến đổi được: 2 2 b 4a 4a b 5ab 4a b a b b a Mà 2a b 0 4a 2b b nên a b a2 1 Ta có: P 4a2 a2 3 1 Vậy 4a2 b2 5ab và 2a b 0 thì P 3
5. Câu 4. A B K H N P D C M a) Chứng minh được : DH vuông góc với BM Chứng minh được: CD BC;PC CM ;D· CB B· CM 900 DPC BMC c.g.c B· HP 900 1 PC DM.PC S b) Chứng minh được: MP  BD 2 PDM BC 1 S DM.BC BDM 2 1 1 PH .DB.KP S PH DB.KP S Tương tự 2 PBM ; 2 PBD DH 1 S DH 1 S .DB.MK BDM DB.MK BDM 2 2 S S S Q PDM PBM PBD 1. SBDM c) Chứng minh: MCP : MKD g.g MP.MK MC.MD (1) Chứng minh: DBC : DKM (g.g) DK.BD DC.DM 2 Từ 1 & 2 MP.MK DK.BD DM. MC DC MP.MK DK.BD DM 2
6. Câu 5. 1) x y Học sinh chứng minh 2 với mọi x, y 0 y x x y x y 2 0; 1 1 y x y x x y x y 2 1 0 y x y x x2 y2 x y x y 2 2 2 2. 2 0 y x y x y x x2 y2 x y 2 2 4 3 y x y x Dấu " "xảy ra x y 0 2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 2 *)x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2045 x2 2x y2 6y 12 x2 2x 3 y2 6y 36 2009 x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2009 x2 2x 3 y2 6y 12 2009 (3) Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2009 B 2015 *)B 2015 x 1& y 3 x 1 *)MinB 2015 y 3