Đề thi KĐCL mũi nhọn - Môn thi: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi KĐCL mũi nhọn - Môn thi: Toán lớp 8

1. PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN. NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 2xy y2 4x 4y 5 b) Chứng minh n ¥ * thì n3 n 2 là hợp số c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 2. x 1 x 2 x 3 x 2012 a) Giải phương trình: 2012 2012 2011 2010 1 b) Cho a2 b2 c2 a3 b3 c3 1. Tính S a2 b2012 c2013. Câu 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 b) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác ab bc ac Chứng minh : a b c a b c a b c a b c Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông b) Chứng minh DF  CE và MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. x y 2 4 x y 5 x y 2 4 x y 4 9 a) x y 2 2 32 x y 5 x y 1 b) Ta có: n3 n 2 n3 1 n 1 n 1 n2 n 1 n 1 n 1 n2 n 2 n 1 1 Do n * nên .Vậy n3 n 2 là hợp số. ¥ 2 n n 2 1. c) Gọi hại số lần lượt là a2 và a 1 2 Theo bài ra ta có: a2 a 1 2 a2. a 1 2 a4 2a3 3a2 2a 1 2 a4 2a3 a2 2 a2 a 1 a2 a 2 a 1 1 2 a2 a 1 là một số chính phương lẻ vì a2 a a a 1 là số chẵn nên a2 a 1 là số lẻ Câu 2. a) Phương trình đã cho tương đương với : x 1 x 2012 x 3 x 2012 1 1 1 1 2012 2012 2012 2011 2010 1 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0 2012 2011 2010 1 1 1 1 1 x 2013 0 x 2013 2012 2011 2010 1 b) a2 b2 c2 a3 b3 c3 1 a;b;c  1;1 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 0 a3 b3 c3 1 a;b;cnhận hai giá trị là 0 hoặc 1 b2012 b2;c2013 c2 S a2 b2012 c2013 1
3. Câu 3. a) Ta có: A 2 x2 2xy y2 y2 8x 2y 18 A 2 x y 2 4 x y 4 y2 6y 9 1 A 2 x y 2 2 y 3 2 1 1 x 5 Vậy MinA 1 y 3 b) Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên: a b c 0; a b c 0;a b c 0 Đặt x a b c 0; y a b c 0; z a b c 0 y z x z x y Ta có: x y z a b c;a ;b ;c 2 2 2 ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz 3x 3y 3z 3 x y z 2. 2. 2. 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y . 3 x y z . . 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 . 3 x y z x y z x y z 4 Mà x y z a b c nên suy ra điều phải chứng minh
4. Câu 4. A E B H M F N D G C a) Chứng minh EFGH là hình thoi Chứng minh có 1 góc vuông nên EFGH là hình vuông b) BEC CFD E· CB F· DC mà CDF vuông tại C nên: C· DF D· FC 900 D· FC E· CB 900 CMF vuông tại M hay CE  DF Gọi N là giao điểm của AG và DF.Chứng minh tương tự: AG  DF GN / /CM mà G là trung điểm của DC nên N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến MAD cân tại A CD CM c) CMD : FCD(g.g) FD FC 2 2 SCMD CD CD Do đó : SCMD .SFCD SFCD FD FD 1 1 Mà S CF.CD CD2 . FCD 2 4
5. CD2 1 Vậy S . CD2 CMD FD2 4 Trong DCF theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD CD 2 4 4 CD2 1 1 Do đó: S . CD2 a2 MCD 5 CD2 4 5 4