Đề thi học sinh giỏi môn Toán - lớp 6 (kèm đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán - lớp 6 (kèm đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 GIAO THỦY Môn: TOÁN - Lớp 6 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (3,0 điểm) Cho tổng A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 Tính giá trị biểu thức: B = 8A - 32010 Bài 2 (4,0 điểm) Cho A = 1.4.7.10 58 + 3.12.21.30 174 a. Tìm chữ số tận cùng của A. b. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377. Bài 3 (4,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: a. x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. b. 3.(5x - 1) - 2 = 70. c. 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 Bài 4 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Biết rằng: hai chữ số của số đó đều là số nguyên tố. Tích của số đó với các chữ số của nó là số có 3 chữ số giống nhau được tạo thành từ chữ số hàng đơn vị của số đó. b. Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Bài 5 (5,0 điểm) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. a. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n. b. Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2017 được không? Vì sao? Hết Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 GIAO THỦY Môn: TOÁN - Lớp 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm (3,0điểm) A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 9A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 32010 1,0 Tính được 8A = 32010 - 1 1,0 B = 8A - 32010 = 32010 - 1 - 32010 = -1 1,0 Bài 2 (4,0điểm) a, Tìm chữ số tận cùng của A (2,0 điểm) - Tìm được chữ số tận cùng của tích B = 1.4.7.10 58 là 0 0,75 - Tìm được chữ số tận cùng của tích C = 3.12.21.30 174 là 0 0,75 - Tìm được và kết luận chữ số tận cùng của A là 0 0,5 b, Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377 (2,0 điểm) - Nhận xét 377 = 13.29 0,5 - Tìm được quy luật của các thừa số trong tích B là các số tự nhiên chia 3 dư 1, nên B chứa thừa số 13. Do đó B = 1.4.7.10.13 58 0,5 B = 1.4.7.10.13 29.2 Suy ra B chia hết cho 377 - Tìm được quy luật của các thừa số trong tích C là các số tự nhiên chia 9 dư 3, nên C chứa thừa số 39. Do đó C = 3.12.21.30.39 174 0,5 C = 3.12.21.30.(3.13) (6.29) Suy ra C chia hết cho 377 - Kết luận A chia hết cho 377 0,5 Bài 3 (4,0điểm) a, x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. (1,5 điểm) 100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450 0,5 Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950 0,5 khi đó 100x + 4950 = 5450 100x = 500 0,25 x = 5 0,25 b, 3.(5x - 1) - 2 = 70. (1,5 điểm) 3.(5x - 1) = 70 + 2 3.(5x - 1) = 72 0,5 5x - 1 = 72 : 3 5x - 1 = 24 0,5 5x = 25 5x = 52 0,5 x = 2 c, 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
3. (1,0 điểm) 2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 2x .15 = 960 0,5 2x = 960: 15 2x = 64 2x = 26 0,5 x = 6 Bài 4 (4,0điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau (2,0 điểm) - Gọi số cần tìm là ab , (điều kiện của a, b ) 0,25 - Theo đề bài ta có ab .a.b = bbb Suy ra ab .a.b = 111.b 0,75 Hay ab .a = 111 Mà 111 = 3.37 Trong đó: 3 là số nguyên tố; 7 là số nguyên tố; 3 7 thỏa mãn đề bài 0,75 nên ab = 37 Kết luận số cần tìm là 37 0,25 b, Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 (2,0 điểm) là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với k 0,5 N, k 1) Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1) 0,75 và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3) 0,75 và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số Kl Bài 5 (5,0điểm) a, Với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, (3,0 điểm) không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Số giao điểm được xác định như sau: Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo ra n - 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n.(n - 1) giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 1,5 lần, nên số giao điểm là n.(n - 1):2 giao điểm - Khi số giao điểm là 1128 ta có: n(n - 1):2= 1128 1,0 - Lý luận tìm được n = 48 0,5 b, - Giả sử số giao điểm bằng 2017 (2,0 điểm) 1,0 - Áp dụng kết quả câu a ta có n(n - 1):2 = 2017 - Lý luận tìm ra điều vô lý 1,0 - Kết luận: Số giao điểm không thể bằng 2017 Chú ý: - Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Nếu bài hình phần trên sai, thì vẫn chấm điểm phần dưới - Bài 2. Câu a chỉ ra được chữ số tận cùng là cho điểm tối đa - Bài 5. Lí luận không chính xác thì tùy từng ý trừ điểm