Đề thi học sinh giỏi môn - Toán học 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn - Toán học 6

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5,0 điểm) . Cho A 550 – 548 546 544  +56 - 54 + 52 1. a) Tính A. b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5n c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100. Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết: a) 1 3 5 7 9  2x –1 225 x x 1 x 2 x 3 x 2015 2019 b) 2 2 2 2  +2 2 8. Bài 3: (5,0 điểm) a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37. b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. Bài 5: (4,0 điểm) 1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng. 2. Vẽ đoạn thẳng AB 6cm . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC BD 9cm. a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C. b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ? Hết Họ và tên thí sinh:: SBD Chữ ký giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1: (4,0 điểm) Đáp án Điểm 50 48 46 44 6 4 2 a. A 5 – 5 5 5  +5 - 5 + 5 1. 25A 52. 550 – 548 546 544  +56 - 54 + 52 1. 0,25 52 50 48 46 8 6 4 2 5 – 5 5 5  +5 - 5 + 5 5 . 0,25 Suy ra 25A A 552 1 0,50 Vậy A 552 1 : 26 0,25 b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5n Ta có 26.A 1 5n mà 26A 552 1 nên 552 1 1 5n 0,25 Suy ra 552 5n n 52 .Vậy n 52 0,25 c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100. A 550 – 548 546 544  +56 - 54 + 52 1. ( có 26 số hạng) 0,25 50 48 46 44 6 4 2 5 – 5 5 5  + 5 - 5 + 5 1. 0,25 50 48 46 44 6 4 2 5 – 5 5 5  + 5 - 5 + 5 1 . 0,25 48 2 44 2 4 2 2 5 . 5 –1 5 . 5 –1  +5 . 5 –1 + 5 1 . 0,25 548.24 544.24  +54 .24+ 24. 0,25 546.25.24 542.25.24  +52 .25.24+ 24. 0,50 546.600 542.600  +52 .600+ 24. 6.100. 546 542 52 24 0,25 Suy ra A chia cho 100 dư 24. 0,25 Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết: Đáp án Điểm a) 1 3 5 7 9  2x –1 225 Với mọi x N ta có 2x – 1 là số lẻ 0,25 Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 2 x – 1 A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25 Số số hạng của A là: 2x –1–1 : 2 1 x (Số hạng) 0,25 2 A 2x –1 1 .x : 2 x 0,25 Mà A 225 x2 225 152 0,25 x 15 Vậy x 15 0,25 x x 1 x 2 x 3 x 2015 2019 b) 2 2 2 2  +2 2 8.
3. x x x 2 x 3 x 2015 2019 3 2 .1 2 .2 2 .2 2 .2  +2 .2 2 2 . 0,25 2x. 1 2 22 23  +22015 23. 22016 1 . 0,25 2 3 2015 Đặt M 1 2 2 2  +2 2 3 4 2016 Ta được 2.M 2 2 2 2  +2 0,25 Suy ra M 22016 1 0,25 2x. 22016 1 23. 22016 1 . Vậy ta có 0,25 x 3 2 2 x 3 .Vậy x 3 0,25 Bài 3: (5,0 điểm). Đáp án Điểm a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37. Ta có abc37 100.abc 37 abc0037 0,50 ab .1000 c00 37 0,25 ab .999 c00 ab 37 0,25 ab .999 cab 37 0,25 Mà ab .999 ab .37.27  37 0,25 cab37 0,25 Vậy nếu abc37 thì cab37 0,25 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12 x y Ta có x.y 12 x y x.y x y 12 0 0,25 x. y 1 y 12 0 0,25 x. y 1 y 1 11 0 0,25 x 1 . y 1 11 1 0,25 Vì x, y Z nên x 1 Z; y 1 Z 0,25 Do đó từ 1 x 1; y 1 là các ước của -11 0,25 Các ước của -11 là -11; -1;1;11 0,25 +) Với x 1 11 thì y 1 1. Suy ra x 10; y = 2 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x 1 1 thì y 1 11. Suy ra x 0; y = 12 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x 1 1 thì y 1 11. Suy ra x 2; y = -10 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x 1 11 thì y 1 1. Suy ra x 12; y = 0 ( Thỏa mãn) 0,25 Vậy x; y 10;2 ; 0;12 ; 2; 10 ; 12;0 . 0,25
4. Bài 4: (3,0 điểm). Đáp án Điểm Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 0,25 Nên a 12 ;a 13 ; a 45 ; a 37 a 12 ;a 23 ; a 15 ; a 47 0,25 a 112 ;a 113 ; a 115 ; a 117 0,50 0,25 a 11 BC 2;3;5;7 . Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 0,25 0,25 a 11 BCNN 2;3;5;7 . Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau 0,25 0,25 BCNN 2;3;5;7 2.3.5.7 210 a 11 210. 0,25 a 199. 0,25 Vậy số tự nhiên cần tìm là 199. 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) Đáp án Điểm 1. – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng : 0,25 + Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng. + Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. 0,25 + Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là 29.30 : 2 435 đường thẳng. 0,25 Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng. – Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng 0,25 hàng ta vẽ được a. a 1 : 2 đường thẳng. Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng 0,25 bị giảm đi là a. a 1 : 2 1 đường thẳng. Theo bài ra ta có : a. a 1 : 2 1 435 421 14 0,25 a. a 1 30 6.5 0,25 Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a 1 a nên a 6. 0,25 2. Hình vẽ A D C B : a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C. Vì D nằm giữa A và B nên: AD DB AB 0,25 Thay AB 6 cm ta có AD DB 6 cm . 0,25 Lại có AC DB 9 cm AD DB AC DB hay AD AC. 0,25
5. Trên tia AB có : AD AC suy ra D nằm giữa A và C 0,25 b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ? Vì D nằm giữa A và C suy ra AD DC AC. 0,25 Lại có AC DB 9 cm , suy ra AD DC DB 9cm 0,25 Hay AD DB DC 9cm 0,25 Thay AD DB 6 cm , ta có 6cm DC 9 cm . Vậy DC 3 cm 0,25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./. Hết