Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán khối lớp 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán khối lớp 6

1. PHềNG GD & ĐT CHÍ LINH ĐỀ THI chọn HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MễN: TOÁN 6 Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề ) Cõu 1: (2 điểm) 1. Tớnh nhanh: 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.8 2. Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 2x. y 5 (y 5) 12 . Cõu 2: (2 điểm) Cho C = 2 + 22 + 23 + 24 + + 299 + 2100 a) Chứng minh rằng C chia hết cho 31 b) Tớnh tổng C. c) Tỡm x để 22x – 1 - 2 = C Cõu 3: (2 điểm) 1. Chứng minh rằng: “Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp là một số khụng chia hết cho 4”. 2. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyờn tố lớn hơn 3 thỡ p2 - 1 chia hết cho 3. Cõu 4:( 3 điểm) a) Cho 20 điểm trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi tất cả cú bao nhiờu đường thẳng? b) Cho n điểm khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Qua 2 điểm trong số cỏc điểm đú vẽ một đường thẳng. Biết rằng cú 1035 đường thẳng được tạo thành. Tỡm n. Cõu 5: (1 điểm) Khụng làm phộp tớnh, hóy cho biết cỏc số sau cú chia hết cho 5 khụng ? A = 20002001+ 20012002
2. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Cõu ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.8 (2 điểm) = (21 - 11 + 90 + 125.8). 49 0,25 = (100 + 1000).49 0,25 = 1100.49 0,25 = 51300 0,25 b) 2x. y 5 (y 5) 12 (2x + 1)(y - 5) = 12 0,25 Ta cú: 12 = 1.12= 2.6 = 3.4 0,25 Vỡ 2x + 1 là số lẻ nờn 2x + 1 {1 ; 3} - Nếu 2x + 1 = 1 => x = 0 và y - 5 = 12 => y = 17 0,25 - Nếu 2x + 1 = 3 => x = 1 và y - 5 = 4 => y = 9. 0,25 Vậy (x, y) = {(0,17) ; (1,9)}. 2 Cho C = 2 + 22 + 23 + 24 + + 299 + 2100 (2 điểm) a) C = 2 + 22 + 23 + 24 + + 299 + 2100 = 2(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + + 296(1 + 2 + 22 + 23 + 24) 0,25 = 2 . 31 + + 296 . 31 0,25 = 31. (2 + + 296)  31 . Vậy C  31 0,25 b) C = 2 + 22 + 23 + 24 + + 299 + 2100 2C = 22 + 23 + 24 + + 2100 + 2101 0,25 => 2C - C = 2101 - 2 . Vậy C = 2101 - 2 0,25 c) Để 22x – 1 - 2 = C thỡ 22x – 1 - 2 = 2101 - 2 22x – 1 = 2101 0,25 2x - 1 = 101 2x = 102 0,25 0,25 x = 51 . Vậy x = 51 3 1. Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp lần lượt là: a; a + 1; a + 2 ; a + 3 0,25 (2điểm) Tổng của bốn số tự nhiờn liờn tiếp là : S = a + (a + 1) + ( a + 2) + ( a + 3) 0,25 = a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6 0,25 . . . Vỡ 4a :4 ; 6 : 4 => S : 4 0,25 Vậy tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp là một số khụng chia hết cho 4 2. Xột số nguyờn tố p > 3. Ta cú: p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k N*) 0,25 2 2 2 0,25 - Nếu p=3k+1 thỡ p -1 = (3k+1) -1 = 9k +6k chia hết cho 3 0,25 - Nếu p=3k+2 thỡ p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3 Vậy p2-1 chia hết cho 3. 0,25
3. 4 a) Số đường thẳng cú: 19.20 : 2 = 190 (đường thẳng) 1,5 (3điểm) b) Lập luận đi đến n.(n – 1 ) : 2 = 1035 1,5 n = 46 . . Ta cú 20002001 = 2000 . 20002000 : 5 ( vỡ 2000 : 5) 5 0,5 . . 0,25 (1điểm) 2001 : 5 => 20012002 : 5 . Vậy A : 5 0,25