Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán 8 (đề chính thức)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán 8 (đề chính thức)

1. UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Môn: TOÁN 8 Bài 1. (4 điểm) 1 a) Cho a2 a 1 0. Tính giá trị của biểu thức P a2013 a2013 b) Cho hai số x, y thỏa mãn: x2 x2 y2 2y 0 và x3 2y2 4y 3 0 Tính giá trị của biểu thức Q x2 y2 Bài 2. (5 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn: 2x 5y 624 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 10x2 50y 42xy 14x 6y 57 0 Bài 3. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n sao cho số A n2 n 6 là số chính phương. b) Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm. Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Mỗi học sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có AM là phân giác M BC . Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng MN MC Bài 5. (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 20cm. Trên cạnh CD lấy điểm M.Đường thẳng vuông góc với BM tại M cắt AD tại N. a) Cho MC 15cm. Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí của M trên cạnh CD để ND có độ dài lớn nhất.
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Từ a2 a 1 0 với a 1 ta có: a 1 a2 a 1 0 a3 1 0 a3 1 671 Ta lại có a2013 a3 2013 1 3 671 1 Do đó: P a 2013 a 671 1 1 2 a a3 2y b) Từ x2 x2 y2 2y 0 x2 1 1 x 1 (1) y2 1 x3 2y2 4y 3 0 x3 1 2 y 1 2 1 x 1 (2) Từ (1) và (2) x 1 x2 1 x2 1 y2 2y 1 0 y 1 y2 1 Vậy Q x2 y2 1 1 2 Bài 2. a) Ta có: 2x 5y 624 2x 624 5y (*) +Xét x 0, ta có: 5y 625 y 4 +Xét x ¥ và x 0 ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý Vậy x; y 0;4 b) Ta có: 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0 9x2 42xy 49y2 x2 14x 49 y2 6y 9 1 0 3x 7y 2 x 7 2 y 3 2 1 0 3x 7y 2 x 7 2 y 3 2 1 3x 7y 2 0 2 2 2 2 Vì x 7 0 và x, y ¢ nên 3x 7y x 7 y 3 0 y 3 2 0
3. 2 2 2 x 7 3x 7y x 7 y 3 0 y 3 Bài 3. a) Giả sử A là số chính phương, suy ra tồn tại số k ¥ sao cho : n2 n 6 k 2 4 n2 n 6 4k 2 2k 2 2n 1 2 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 (*) Do k,n ¥ nên dễ thấy 2k n 1 và 2k 2n 1 là các số nguyên Ngoài ra 23 0 và 2k 2n 1 1;2k 2n 1 2k 2n 1 Suy ra 1 2k 2n 1 2k 2n 1 Căn cứ các lập luận trên và 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra 2k 2n 1 0 4n 2 22 n 5 2k 2n 1 23 Với n 5 thì A 36 62 là số chính phương Vậy n 5 là số tự nhiên cần tìm b) Gọi x là số câu trả lời đúng ( x nguyên và 0 x 10) Số câu trả lời sai là :10 x Số điểm được cộng là 5x Số điểm bị trừ là 2. 10 x Nếu được thưởng thì phải đạt từ 30điểm trở lên. Nên ta có: 5x 2 10 x 30 Giải bất phương trình trên ta được: x 8(tm) Vậy để được thưởng học sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu hỏi.
4. Bài 4. N A K H C B M Kẻ MH  AB tại H , MK  AC tại K AHMK là hình vuông MH MK (1) Ta có: M· CA M· NA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (2) Từ (1) và (2) MHN MKC ch cgv MN MC
5. Bài 5 A B N D M C a) Hai tam giác vuông BCM và MDN có: C· BM D· MN (cùng phụ với B· MC) ND MD BCM : MDN (*) MC BC MC.MD 15. 20 15 ND 3,75 cm BC 20 AN AD ND 20 3,75 16,25 cm Ta có: S BMN SABCD SBCM SDMN SABN 1 1 1 202 .20.15 .5.3,75 .20.16,25 78,125(cm2 ) 2 2 2 b) Đặt MC x 0 x 20 2 MC.MD x. 20 x 20x x2 x 10 Từ * ND 5 5 BC 20 20 20
6. Độ dài ND lớn nhất là ND 5cm khi x 10 hay M là trung điểm của CD Vậy để độ dài ND lớn nhất thì vị trí của M là trung điểm của CD.