Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn Toán (đề 15)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn Toán (đề 15)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN YÊN MÔ NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN TOÁN (ĐỀ CHÍNH THỨC) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Câu 2 (4,0 điểm): x y z a b c a) Cho 1 và 0 ( Với x, y, z, a, b, c khác 0). a b c x y z x2 y2 z2 Chứng minh rằng : 1 . a2 b2 c2 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 2 x6 x3y 32 Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau: a) ( x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 b) 100 101 102 5 4 3 Câu 4 (6,0 điểm): Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ΔCBH đồng dạng với ΔEAH c) Biết diện tích ΔCBH gấp bốn lần diện tích ΔEAH .Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 d) Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Câu 5 (2 điểm): Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: 2 p a p b p c a b c Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN YÊN MÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 Môn : Toán lớp 8 (Hướng dẫn chấm gồm 3 trang) Câu Tóm tắt đáp án Điểm a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 = a4 + 8a3 + 15a2 - a2 - 8a -15 0,5 = (a4 + 8a3 + 15a2) - (a2 + 8a + 15) = a2( a2 + 8a + 15) - (a2 + 8a + 15) 0,5 = (a2 + 8a + 15)( a2 - 1) 0,5 Câu 1 = (a + 3)(a + 5)(a + 1)(a - 1) 0,5 (4đ) b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 = (2ab)2 - (a2 + b2 - c2)2 0,5 = ( 2ab + a2 + b2 - c2) ( 2ab - a2 - b2 + c2) 0,5 = [( a + b)2 - c2][c2 - (a - b)2] 0,5 = (a + b - c)(a + b +c)(c – a + b)(c + a - b) 0,5 a b c ayz+bxz+cxy a) Từ : 0 0 x y z xyz 0,25 ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có : + + =1 ( + + )2 =1 0,25 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz + + +2( + + )=1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy+bxz+ayz + + +2 =1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 + + =1 0,25 Câu 2 a2 b2 c2 (4đ) b,Ta có: y2 2 x6 x3y 32 x6 x6 2x3y y2 64 0,5 3 2 x2 x3 y 64 0,5 2 2 3 3 2 Vì x N và 64 chỉ được phân tích thành 64 0 4 0 8 nên ta có: 0,75 2 2 x 4 x 0 x 2; x 2 x 0 hoặc 2 hoặc x3 y 0 x3 y 82 y 8; y 8 y 8; y 8 0,25 Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên: x 0; y 8 ; x 0; y 8 ; x 2; y 8 ; x 2; y 8 a) Đặt x2 + x + 1 = y 0,25 pt đã cho trở thành y( y + 1) - 12 = 0 0,25 y2 + y - 12 = 0 Câu 3 (y - 3)(y + 4) = 0 (4đ) y = 3 hoặc y = - 4 0,5 + Với y = 3 ta được x1 = 1; x2 = - 2 0,5 + Với y = - 4, vô nghiệm 0,25
3. KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x1 = 1; x2 = - 2 0,25 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 0,5 b) 100 101 102 5 4 3 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 0,5 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 100 101 102 5 4 3 1 1 1 1 1 1 0,5 (x - 105) = 0 100 101 102 5 4 3 x = 105 0,5 KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x= 105 E A B H F C D M N a)( 1,5 điểm) Câu 4 Ta có D· AM = A· BF (cùng phụ B· AH ) (6đ) AB = AD ( gt) 0,5 B· AF = A· DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0,5 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác.D· AE = 900 (gt) 0,5 Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật b)( 1,5 điểm) Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) 0,75 AB BH BC BH = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH · · · Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) 0,75 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) c)( 1,5 điểm) 1,0 Từ ΔCBH : ΔEAH ( cmt)
4. 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0,5 d)( 1,5 điểm) Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 0,25 AD AM AD CN = = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0,5 = = hay = AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 + CM2 MN2 + = + = 2 = 2 = 1 0,5 AM AN MN MN MN MN 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0,25 AM AN AM AN AD 2 x y 4 1 1 4 Ta có: x y 4xy ( x, y >0) xy x y x y x y 0,5 Áp dụng kết quả này ta được: 1 1 4 4 4 0,5 p a p b p a p b 2p a b c Câu 5 1 1 4 1 1 4 0,25 (2đ) Tương tự ta có: ; p b p c a p c p a b Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được: 0,5 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều. Lưu ý: - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ).