Đề thi giao lưu học sinh giỏi - Môn: Toán 8 (đề chính thức)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi - Môn: Toán 8 (đề chính thức)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI 8 NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 8 Câu 1. (2,0 điểm) x y a) Tính giá trị của biểu thức P .Biết x2 2y2 xy x y 0; y 0 x y b) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x2 y2 2x 4y 10 0 Câu 2. (2,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2017 cho đa thức x2 10x 21 b) Cho A n6 10n4 n3 98n 6n5 26 và B 1 n3 n.Chứng minh với mọi n ¢ thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6 Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho a và b thỏa mãn : a b 1. Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 3ab b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 x y2 y z2 z Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC,đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC,vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE DF 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF 2 c) Ký hiệu SX là diện tích của hình X.Chứng minh SFDC 16SAMC .SFNA Câu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi có 3 bài toán A,B,C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được ít nhất một trong 3 bài đó. Biết rằng: - Trong số thí sinh không giải được bài A thì số thì sinh đã giải được bài B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được bài C - Số thí sinh chỉ giải được bài A nhiều hơn số thí sinh giải được bài A và thêm bài khác là 1 người - Số thí sinh chỉ giải được bài A bằng số thí sinh chỉ giải được bài B cộng với số thí sinh chỉ giải được bài C. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B?
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x y x 2y 0 Vì x y 0 nên x 2y 0 x 2y 2y y y 1 Khi đó P 2y y 3y 3 b) Ta có: x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 0 x y 3 7 và x y 1 1 x 3; y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x, y 3,1 Câu 2. a) Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2017 x2 10x 16 x2 10x 24 2017 Đặt t x2 10x 21 t 3;t 7 , biểu thức P(x) được viết lại: P(x) t 5 t 3 2017 t 2 2t 2002 Do đó khi chia t 2 2t 2000 cho t ta có số dư là 2002 b) Thực hiện phép chia , ta được: Thương của A chia cho B là n3 6n2 11n 6 Ta có: n3 6n2 11n 6 n3 n 12n 6n2 6 n 1 n n 1 6 2n n2 1 Vì n 1 n n 1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Và 6 2n n2 1 chia hết cho 6 Thương của phép chia A cho B là bội số của 6 Câu 3. a) Ta có: B a3 b3 3ab a3 b3 3ab. a b a b 3 1 Vi a b 1
3. 1 1 1 1 1 1 b) P x2 x y2 y z2 z x x 1 y y 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,cdương, dấu a b c a b c a b 4 a b bằng xảy ra a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z Bởi vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 . . 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 3 Vậy MinP x y z 1 2 Câu 4. F A N E C B D M DF DC a) Lập luận được: do AM / /DF (1) AM MC
4. DE BD (do AM / /DE) (2) AM BM DE DF BD DC BC Từ (1) và (2) 2(MB MC) AM BM BM DE DF 2AM b)AMDN là hình bình hành NE AE Ta có: ND AB NF FA DM AE NE NF NE NF ND AC BM AB ND ND 2 2 SAMC AM ND c) AMC : FDC Do AM ND SFDC FD FD 2 SFNA FN FNA : FDC SFDC FD 2 2 4 SAMC SFNA ND FN 1 ND FN 1 Do đó . . SFDC SFDC FD FD 16 FD FD 16 2 SFDC 16SAMC .SFNA Do x y 2 0 x y 2 4xy x y 4 16x2 y2 với x 0; y 0) Câu 5. Gọi a là số học sinh chỉ giải được bài A, b là số thí sinh chỉ giải được bài B, c là số thí sinh chỉ giải được bài C, d là số thí sinh giải được 2 bài B và C nhưng không giải được bài A. Khi đó số thí sinh giải được bài A và thêm ít nhất một trong hai bài B và C là : 25 a b c d Theo bài ra ta có: b d 2 c d a 1 25 a b c d và a b c 4b c 26 b 6 Từ các đẳng thức trên ta có: d b 2c 0 c 2 Vậy số thí sinh chỉ giải được bài B là 6 thí sinh.