Đề thi học sinh giỏi lớp 6 THCS cấp huyện - Môn thi: Toán học

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 6 THCS cấp huyện - Môn thi: Toán học

1. Phòng giáo dục & đào tạo đề thi học sinh giỏi lớp 6 thcs cấp huyện Huyện nga sơn Môn thi: Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1 (6 điểm ): 1. Tính nhanh: 7 7 5 21 49 8 12 23 34 1 1 1 a. - + . b. ( + - ) ( - - ). 13 15 12 39 91 15 199 200 201 2 3 6 2. So sánh: 201201 201201201 a. 3200 và 2300 b. 7150 và 3775 c. và . 202202 202202202 Câu 2 (4 điểm): 1 1 1 1 1 a. Cho A = + + + + + . Chứng minh rằng: A < 2. 12 22 32 42 502 b. Cho B = 21 + 22 + 23 + + 230. Chứng minh rằng: Bchia hết cho 21. Câu 3 (4 điểm): Một người đi từ A đến B với vận tốc 24km /h. Một lát sau một người khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 40km /h. Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì người thứ 2 đi tăng vận tốc lên thành 48km /h. Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu km? Biết rằng quãng đường AB dài 160km. Câu 4 (4 điểm): Trên đường thẳng x'x lấy điểm O tuỳ ý. Vẽ hai tia Oy và Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ x'x sao cho: xã Oz = 400, xã 'Oy 3.xã Oz . a. Trong ba tia Ox,Oy,Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? b. Gọi Oz ' là tia phân giác của góc xã 'Oy . Tính góc zãOz ' ? Câu 5 (2 điểm): Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Hết Họ và tên thí sinh: . Số báo danh:
2. Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hướng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 6,7,8 Môn thi: Toán lớp 6 Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm Câu1 7 7 5 21 49 8 7 7 5 7 7 8 1. a) - + = - + 6.0đ 3.0đ 13 15 12 39 91 15 13 15 12 13 13 15 7 7 5 8 = ( - + ) 13 15 12 15 0.5 7 5 = (1- ) 13 12 0.5 7 7 49 = = 13 12 156 0.5 12 23 34 1 1 1 b) ( + - ) ( - - ) 199 200 201 2 3 6 12 23 34 3 2 1 = ( + - ) ( - - ) 199 200 201 6 6 6 0.75 12 23 34 = ( + - ) 0 = 0 199 200 201 0.75 2. 2a. So sánh 3200 và 2300 3.0đ Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 0.5 mà 8100 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150 (2) 0.5 mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150 0.5 201201 201201201 2c. So sánh và . 202202 202202202 201201 201 1001 201 Ta có: = . = 0.5 202202 202 1001 202 201201201 201 1001001 201 = . = 202202202 202 1001001 202 Vậy 2 phân số trên bằng nhau. 0.5 1 1 1 1 1 Câu2 a. . Chứng minh: A = + + + + + < 2 4.0đ 2.0đ 12 22 32 42 502 0.5 1 1 1 1 Ta có: < = - 22 1.2 1 2 1 1 1 1 < = - 32 2.3 2 3 1 1 1 1 < = - 42 3.4 3 4 1 1 1 1 < = - 502 49.50 49 50
3. 1 1 1 1 1 Vậy: A = + + + + + < 0.5 12 22 32 42 502 1 1 1 1 1 + + + + + 12 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 1 = 1+ - + - + + - 0.5 1 2 2 3 49 50 1 99 0.5 = 1+1 - = < 2 50 50 0.5 b. B = 21 + 22 + 23 + + 230 2.0đ Ta có: B = 21 + 22 + 23+ + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 + + 229) suy ra B  3 (1) 0.75 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ + 230 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + + 228) suy ra B  7 (2) 0.75 Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B 3.7 hay B  21 0.5 Câu3 Hiệu vận tốc của hai người là: 40 - 24 = 16 (km/h) 0.5 4.0đ Thời gian người thứ nhất đi hết quãng đường AB là: 160: 24 20 = h = 6h40' 0.5 3 Thời gian người thứ hai đi hết quãng đường AB theo dự kiến 40km/h là: 160: 40 = 4 (h) 0.5 Thời gian người thứ nhất đi trước người thứ hai là: 6h40' - 8 4h = 2h40'= h 0.5 3 8 Quãng đường người thứ nhất đi trước là: . 24 = 64 (km) 0.5 3 Khoảng cách giữa hai người khi người thứ hai tăng vận tốc là: 64 - 16. 2 = 32 (km) 0.5 Thời gian từ khi người thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp nhau 4 là: 32: (48 -24)= h 0.5 3 Đến lúc gặp người thứ hai đã đi quãng đường là: 80 + 48 . 4 = 144 (km) 3 Chỗ gặp cách B là: 160 - 144 = 16 (km) 0.5 Câu4 a. 4.0đ 2.0đ z, y z x, 400 x O
4. a. Theo bài ra: xã 'Oy = 3. xã Oz nên: xã 'Oy = 3.400 = 1200 0.75 Hai góc xã Oy và xã 'Oy là 2 góc kề bù nên xã Oy = 1800 - xã 'Oy = 1800 -1200 = 600 0.75 Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x lại có xã Oz nhỏ hơn xã Oy nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy. 0.5 b. Ta có: xã Oz + zãOy = xã Oy 2.0đ hay zãOy = xã Oy -  xã Oz = 600 - 400 = 200 1 1 Mà ãyOz ' = . xã 'Oy = . 1200 = 600 (Oz, là tia phân giác xã 'Oy ) 2 2 Vậy: zãOz ' = ãyOz ' + ãyOz = 600 + 200 = 800 Câu5 Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: 2.0đ A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7 Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) 0.5 Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. 0.5 Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: (A + 39)  7.17.23 nên (A+39)  2737 0.5 Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 0.5 Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm. điểm. - Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết