Đề thi học sinh giỏi lớp 6, 7, 8 THCS cấp huyện - Môn thi: Toán 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 6, 7, 8 THCS cấp huyện - Môn thi: Toán 8

1. PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN HUYỆN NGA SƠN NĂM HỌC: 2016-2017 Mụn thi: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt Ngày thi: 04/04/2017 Cõu 1. (4 điểm) 2 a 1 1 2a2 4a a3 4a Cho biểu thức M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 4a a) Rỳt gọn M b) Tỡm a để M 0 c) Tỡm giỏ trị của a để biểu thức M đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 2. (5 điểm) 1) Giải cỏc phương trỡnh sau: x 2 x 4 x 6 x 8 a) 98 96 94 92 b) x6 7x3 8 0 2) Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm 1 x x 2 2 x m 2 x m x m m2 x2 3) Tỡm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2 Cõu 3. (4 điểm) 1) Cho x y z 1 và x3 y3 z3 1. Tớnh A x2015 y2015 z2015 2) Một người dự định đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 30km / h,nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15 phỳt, do đú phải tăng vận tốc thờm 10km / h để đến B đỳng giờ đó định. Tớnh quóng đường AB ? Cõu 4. (5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O,M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khỏc B,C) . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM a) Chứng minh OEM vuụng cõn b) Chứng minh : ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M ,H thẳng hàng. Cõu 5. (2 điểm) Cho số thực dương a,b,cthỏa món a b c 2016 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 thức: P 2015 a 2016 b 2017 c
2. ĐÁP ÁN Cõu 1. (2 điểm) a) Điều kiện: a 0;a 1 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Ta cú: M 2 3 : 2 3a a 1 a 1 a 1 4a 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 . a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 1 4a 4a . a3 1 a2 4 a2 4 b) M 0 4a 0 a 0 Kết hợp với điều kiện suy ra M 0 khi a 0 và a 1 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 c) Ta cú: M 1 a2 4 a2 4 a2 4 a 2 2 a 2 2 Vỡ 0 với mọi a nờn 1 1với mọi a a2 4 a2 4 a 2 2 Dấu " "xảy ra khi 0 a 2 a2 4 Vậy MaxM 1 khi a 2. Cõu 2. 1) a) Ta cú: x 2 x 4 x 6 x 8 98 96 94 92 x 2 x 4 x 6 x 8 1 1 1 1 98 96 94 92 1 1 1 1 x 100 . 0 98 96 94 92 1 1 1 1 Vỡ 0 98 96 94 92 Do đú: x 100 0 x 100 Vậy phương trỡnh cú nghiệm : x 100
3. b) Ta cú: x6 7x3 8 0 x3 1 x3 8 0 x 1 x2 x 1 x 2 x2 2x 4 0 * 2 2 1 3 2 2 Do x x 1 x 0 và x 2x 4 x 1 3 0 với mọi x 2 4 Nờn * x 1 x 2 0 x 1;2 1 x x 2 2 x m 2 2) (1) x m x m m2 x2 ĐKXĐ: x m 0 và x m 0 x m 1 x x m x 2 x m 2 2 x m 2m 1 x m 2 * 1 3 +Nếu 2m 1 0 m ta cú: * 0x (vụ nghiệm) 2 2 1 m 2 +Nếu m ta cú * x 2 2m 1 - Xột x m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 2 2 2 1 3 2m 2m 2 0 m m 1 0 m 0 2 4 (Khụng xảy ra vỡ vế trỏi luụn dương) Xột x m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 m2 1 m 1 1 Vậy phương trỡnh vụ nghiệm khi m hoặc m 1 2 3) Ta cú: g(x) x2 x 2 x 1 x 2 Vỡ f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 Nờn tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) g(x).q(x) ax3 bx2 10x 4 x 2 . x 1 q(x) Với x 1 a b 6 0 b a 6 1
4. Với x 2 2a b 6 0 2 Thay 1 vào 2 ta cú: a 4 và b 2 Cõu 3. 1) Từ x y z 1 x y z 3 1 Mà x3 y3 z3 1 x y z 3 x3 y3 z3 0 x y z 3 z3 x3 y3 0 x y z z x y z 2 x y z z z2 x y x2 xy y2 0 x y x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz xz yz z2 z2 x2 xy y2 0 x y 3z2 3xy 3yz 3xz 0 x y 3 y z x z 0 x y 0 x y y z 0 y z x z 0 x z *Nếu x y z 1 A x2015 y2015 z2015 1 *Nếu y z x 1 A x2015 y2015 z2015 1 *Nếu x z y 1 A x2015 y2015 z2015 1 2) Gọi x km là độ dài quóng đường AB. ĐK: x 0 x Thời gian dự kiến đi hết quóng đường AB: (giờ) 30 Quóng đường đi được sau 1 giờ: 30(km) Quóng đường cũn lại : x 30 km x 30 Thời gian đi quóng đường cũn lại: (giờ) 40 x 1 x 30 Theo bài ta cú phương trỡnh: 1 30 4 40 4x 30.5 3. x 30 x 60(thỏa món) Vậy quóng đường AB là 60km.
5. Cõu 4. A E B O M H' H D C N a) Xột OEB và OMC Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú : OB OC à à 0 Và B1 C1 45 BE CM gt Suy ra OEM OMC(c.g.c) à ả OE OM và O1 O3 ả ả ã 0 Lại cú: O2 O3 BOC 90 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng ả à ã 0 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE OM OEM vuụng cõn tại O b) Từ giả thiết ABCD là hỡnh vuụng AB CD và AB / /CD AM BM AB / /CD AB / /CN (định lý Ta-let) * MN MC Mà BE CM gt và AB CD AE BM thay vào * AM AE Ta cú: ME / /BN (theo Định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H ' là giao điểm của OM và BN Từ ME / /BN Oã ME Mã H 'B ã 0 ã 0 à Mà OME 45 vỡ OEM vuụng cõn tại O MH 'B 45 C1 OMC : BMH ' g.g
6. OM MC , kết hợp Oã MB Cã MH ' (hai gúc đối đỉnh) BM MH OMB : CMH '(c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450 Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN Mà CH  BN H BN H  H ' hay 3 điểm O,M ,H thẳng hàng (đpcm) Cõu 5. Ta cú: 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 P 2015 a 2016 b 2017 c b c 4033 c a 4032 a b 4031 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 a x 2016 b y 2017 c z b c 4033 c a 4032 a b 4031 P 2015 a 2016 b 2017 c y z z x x y y x x z y z x y z x y z x z y y x z x y z 2 . 2 . 2 . 6 (Co si) x y x z z y Dấu " " xảy ra khi x y z suy ra a 673,b 672,c 671 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 khi a 673,b 672,c 671