Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 – 2017 môn Toán 7 - Trường THCS Giao Tân

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 – 2017 môn Toán 7 - Trường THCS Giao Tân

1. TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG GIAO TÂN Năm học 2016 – 2017 Môn Toán 7 ( Thời gian : 120 phút) Bài 1 : (4 điểm) 1 1 1 1 1 1 1. Rút gọn A = - - - - - - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 2,Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n 2n 34 Bài 2 : ( 5 điểm ) xy yz zx x2 y2 z2 1. Tìm các số x, y, z biết: . 2y 4x 4z 6y 6x 2z 22 42 62 2. Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn : x y y z z x 2017 . Bài 3: ( 3 điểm) Chứng minh rằng : 2 22 23 24 25 299 2100 chia hết cho 31 Bài 4 : ( 3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 Bài 5 : ( 5 điểm) : Cho ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC ; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a. Chứng minh FCH cân ; b. Chứng minh AK = KI ; c. Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng.
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS MÔN TOÁN 7 GIAO TÂN NĂM HỌC 2016 - 2017 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Bài Câu Nội dung Điểm 1 1.1 1 1 1 1 1 1 0,25 A = (4đ) (2 đ) 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 A = 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 0,25 A = 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 A = 1 100 2 2 3 97 98 98 99 99 100 1 1 0,25 A = 1 100 100 1 1 0,25 A = 1 1 0 0 1 0 0 2 0,25 A = 1 1 0 0 1 0,25 A = 1 5 0 49 0,25 A = 50 1.2 2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n 2n 34 (1) (2 đ) Đặt B 2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n 0,25 Suy ra 2B 2.(2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n ) 2.23 3.24 4.25 (n 1).2n n.2n 1 2B – B = (2.23 3.24 4.25 (n 1).2n n.2n 1) 0,25 -(2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n ) B 23 24 25 2n n.2n 1 2.22 (23 24 25 2n ) n.2n 1 23 Đặt C 23 24 25 2n 0,25 Suy ra 2C 2.(23 24 25 2n ) 24 25 26 2n 1 2C – C = (24 25 26 2n 1) - (23 24 25 2n ) 0,25 C = 2n 1 23
3. Khi đó : B (2n 1 23 ) n.2n 1 23 0,25 2n 1 23 n.2n 1 23 2n 1 n.2n 1 (n 1).2n 1 Vậy từ (1) ta có : (n 1).2n 1 2n 34 0,25 2n 34 (n 1).2n 1 0 n 1 33 2 . 2 (n 1) 0 Do đó 233 n 1 0 (Vì 2n 1 0 với mọi n) 0,25 n 233 1 . Vậy n 233 1 0,25 2 2.1 xy yz zx x2 y2 z2 Tìm các số x, y, z biết: (2) (5đ) 3,0đ 2y 4x 4z 6y 6x 2z 22 42 62 Xét x = 0 y z 0 2y 4z 0 (vô lí) 0,25 Suy ra x 0; y 0; z 0 Khi đó từ (2) suy ra 0,25 2y 4x 4z 6y 6x 2z 22 42 62 xy yz zx x2 y2 z2 2 4 4 6 6 2 22 42 62 0,25 Suy ra x y y z z x x2 y2 z2 2 4 6 22 42 62 2 0,50 và 2. x y z x2 y2 z2 x 2 4 6 1 22 42 62 2 0,25 Đặt (k 0) thì x y z k x2 y2 z2 k Suy ra x = 2k ; y = 4k ; z = 6k và x2 y2 z2 28k (3) 0,50 Thay x = 2k ; y = 4k ; z = 6k vào (3) ta được : 0,50 2k 2 4k 2 6k 2 28k 56k2 – 28k = 0 56k.(2k-1) = 0 k = 0 (loại) 0,25 1 Hoặc k ( thỏa mãn) 2 1 0,25 + Với k thì tìm được x =1 ; y = 2; z = 3 2 Kết luận: Vậy x =1 ; y = 2; z = 3 2.2. Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn : 2,0đ x y y z z x 2017 .Ta có x y y z z x x y x y y z y z z x z x 0,25 2x Nếu x ≥ 0 0,25 Với mọi số nguyên x ta lại có x x 0 Nếu x < 0 Suy ra x x luôn là số chẵn với mọi số nguyên x 0,25 x y (x y) 0,50 Từ đó ta có y z (y z) là các số chẵn với mọi số nguyên x, y, z z x (z x)
4. Suy ra x y x y y z y z z x z x là một số chẵn với mọi 0,25 số nguyên x, y, z. Hay x y y z z x là một số chẵn với mọi số nguyên x, y, z. 0,25 Do đó không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn : 0,25 x y y z z x 2017 3 3.1 Chứng minh rằng : 2 22 23 24 25 299 2100 chia hết cho 31 (3đ) Đặt D = 2 22 23 24 25 299 2100 (có 100 số hạng) 1,0 (2 22 23 24 25 ) (26 27 28 29 210 ) (296 297 298 299 2100 ) ( Có 20 nhóm ) D 2.(1 2 22 23 24 ) 26 (1 2 22 23 24 ) 296.(1 2 22 23 24 ) 1,0 D = 2.31 + 26 .31 + +296 .31 0,5 D = 31.(2 + 26 + +296 ) chia hết cho 31 0,5 Vậy 2 22 23 24 25 299 2100 chia hết cho 31 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 (3đ) Ta có P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 0,5 (2x 5y)2 6x 15y 2 xy 90 (2x 5y)2 9.(2x 5y)2 xy 90 2 8.(2x 5y) xy 90 Ta thấy (2x 5y)2 0 với mọi x, y nên 8.(2x 5y)2 0 với mọi x, y 0,25 xy 90 0 với mọi x, y 0,25 Khi đó 8.(2x 5y)2 xy 90 0 với mọi x, y 0,25 2 Suy ra 8.(2x 5y) xy 90 0 với mọi x, y Hay P ≤ 0 với mọi x, y Dấu‘‘=’’ xảy ra khi (2x 5y)2 0 và xy 90 0 0,25 x y 0,25 + Với (2x 5y)2 0 thì 2x 5y 5 2 + Với xy 90 0 thì xy = 90 0,25 x y 0,25 Đặt k ta được x = 5k ; và y = 2k 5 2 Mà xy = 90 nên 5k .2k = 90 0,25 Tìm được k = 3 hoặc k = -3 + Nếu k = 3 thì x = 15 ; y = 6 0,25 + Nếu k = -3 thì x = -15 ; y = - 6 Kết luận : Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x = 15 ; y = 6 0,25 hoặc x = -15 ; y = - 6
5. 5 V A B C ( AB < AC < BC ) (5đ) AO là phân giác µA GT CO là phân giác Cµ OF  BC ; OH  AC ; AH = FI ( I FC ) AI cắt OH tại K KL a, VFCH cân và AK = KI b, B, O, K thẳng hàng A H E K O G B F I C a Chứng minh: 0,5 1,0đ Ta có C· HO = C· FO = 900 ( vì OH  AC ; OF  BC ) +, Xét VCHO vuông và VCFO vuông có : OC chung; H· C O = F· CO ( vì OC là phân giác C ) Vậy VCHO vuông = VCFO vuông ( cạnh huyền – góc nhọn) CH = CF ( 2 cạnh tương ứng của 2 V bằng nhau ) 0,5 Vậy VFCH cân tại C ( tam giác có 2 cạnh bằng nhau) b +, Qua I vẽ IG //AC ( G FH ) 0,25 2,0đ Ta có VFCH cân tại C ( cm trên) 0,25 C· H F C· FH ( 2 góc đáy của tam giác cân) (1) Mà C· H F F· G I ( đồng vị, IG // AC ) (2) Từ (1)(2) C· FH F· G I hay I·FG I·G F 0,25 Vậy V IF G cân tại I 0,25 FI = GI ( hai cạnh bên của tam giác cân ) Mặt khác FI = AH 0,25 Nên GI = AH ( cùng bằng FI ) Ta lại có: I·G K ·AH K ( so le trong, IG // AC ) 0,25 H· AK =G· IK ( so le trong, IG // AC ) Xét VAHK và VIGK có: 0,25 I·G K ·AH K ( cm trên ) GI = AH ( cm trên ) H· AK G· IK ( cm trên )
6. Vậy VAHK = VIGK ( gcg) AK = KI ( 2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau ) 0,25 .c Vẽ OE  AB tại E 1,0 2,0đ Chứng minh được BO là tia phân giác của ·ABC (*) Chứng minh được AB = BI 0,25 Chứng minh được VABK = VIBK (c.c.c) 0,5 Suy ra ·ABK I·BK Từ đó suy ra BK là tia phân giác của ·ABC (* *) Từ (*) và (* *) suy ra tia BK và tia BO trùng nhau 0,25 Hay B, O, K là 3 điểm thẳng hàng Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.