Đề thi học sinh giỏi cấp trường lần 2 - Môn: Toán 8 - Trường THCS Lam Sơn

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường lần 2 - Môn: Toán 8 - Trường THCS Lam Sơn

1. TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2 MÔN: TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a) a2 7a 12 b) x4 2015x2 2014x 2015 c) x3 y3 z3 3xyz 2 d) x2 8 36 Bài 2. (4,0 điểm) Tìm x biết: 2 a) x 4 12 3 3 1 b) : x 3 4 4 c) 3x 5 4 x 4 x 3 x 2 x 1 d) 2011 2012 2013 2014 Bài 3. (2,0 điểm ) a2 4a 4 a) Cho A . Tìm a ¢ để A là số nguyên. a3 2a2 4a 8 b) Tìm số tự nhiên n để n5 1 chia hết cho n3 1 Bài 4. (2,0 điểm ) a 1 b 3 c 5 a) Tìm a,b,cbiết 5a 3b 4c 46 và 2 4 6 b) Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a b ab a :b b 0 Bài 5. (2,0 điểm) 1 1 1 a) Cho a b c 1 và 0. Tính a2 b2 c2 a b c 1 1 1 1 b) Cho a b c 2014 và a b a c b c 2014 a b c Tính S b c a c a b Bài 6. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và
2. AH AC.Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI DA.Chứng minh rằng: a)AI FH b) DA  FH Bài 7. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm AB, CD. a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC,BD,EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường b) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành. Bài 8 (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của : A(x) x 1 x 3 x 4 x 6 10
3. ĐÁP ÁN Bài 1. a) a2 7a 12 a2 3a 4a 12 a 3 a 4 b) x4 2015x2 2014x 2015 x4 x3 x2 2014x2 2014x 2014 x3 1 x2 x2 x 1 2014 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x4 2014 x 1 x2 x 1 x4 x 2015 c) x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y 3xyz x y z 3 3z x y x y z 3xy x y z x y z x y z 2 3z x y 3xy x y z x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 3zx 3zy 3xy x y z x2 y2 z2 xy yz xz 2 d) x2 8 36 x2 6x 10 x2 6x 10 Bài 2. 2 a) x 4 12 x 24 3 3 1 1 b) : x 3 x 4 4 15 5 3x 5 4(x ) x 3(tm) 3 c) 3x 5 4 1 5 x (tm) 3x 5 4 x 3 3
4. x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 d) 1 1 1 1 2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 2015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 1 1 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 1 1 x 2015 0 (Vi 0) 2011 2012 2013 2014 Vậy x 2015 Bài 3. 1 a) Rút gọn A a 2 1 a 1 Để A nguyên nguyên 1 a 2 a 2 a 3 b) n5 1n3 1 n2 n3 1 n2 1  n3 1 n 1 n 1  n3 1 n 1 n 1  n 1 n2 n 1 n 1  n2 n 1 (Vi n 1 0) +) Nếu n 1 01 +)Nếu n 1 thì n 1 n n 1 1 n2 n 1 nên không thể xảy ra n 1n2 n 1 Vậy n 1 Bài 4. a) Ta có: a 1 b 3 c 5 5a 5 3b 9 4c 20 2 4 6 10 12 24 a 1 b 3 c 5 5a 3b 4c 5 9 20 46 6 2(Vi5a 3b 4c 46) 2 4 6 10 12 24 26 a 1 4 a 3 b 3 8 b 11 c 5 12 c 7
5. b) Ta có: a b ab a ab b b a 1 Do đó: a :b b a 1 :b a 1 1 Nên a b a 1 b 1 và a 1 a 1 a a 1 a 2 1 Vậy a ;b 1 2 Bài 5. a) Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm 1 1 1 Phân tích , phần nào có a b c thì thay bằng 1 a b c 1 1 1 1 b) Ta có: a b a c b c 2011 a b c 2014 a 2014 b c ; b 2014 (a c);c 2014 (a b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S b c a c a b 2014 2014 2014 1 1 1 b c a c a b 1 1 1 2014. 3 b c a c a b 1 2014. 3 1 3 2 2014 Vậy S 2
6. Bài 6. H K F A C B D I a) Xét BDI và CDA có DB DC(gt),B· DI C· DA(đối đỉnh), DA DI(gt) BDI CDA(c.g.c) BI CA(hai cạnh tương ứng) B· ID C· AD (2 góc tương ứng ) mà 2 góc này ở vị trí so le trong BI / / AC - Xét ABI và FAH có: AB AF(gt); ·ABI F· AH (cùng bù với B· AC) BI = AH (cùng AC) ABI EAH c.g.c AI FH (2 cạnh tương ứng) b) Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:
7. B· AI F· AK 900 mà ·AFH B· AI hay ·AFK B· AI nên ·AFH F· AK 900 F· KA 900 AK  FK AI  FH (Vì I,K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7. A E B M O N D F C a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD. Chứng minh BEDF là hình bình hành Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm EF Vậy EF,BD, AC đồng quy tại O 1 b) Xét ABD có M là trọng tâm , nên OM OA 3 1 Xét BCD có N là trọng tâm nên ON OC 3 Mà OA OC nên OM ON Tứ giác EMFN có OM ON,OE OF nên là hình bình hành Bài 8. 2 2 A x x 7x 6 x 7x 12 10
8. 2 Đặt x 7x 6 t A t t t 6 10 t 2 6t 9 1 t 3 2 1 1 7 13 x 2 2 Khi đó: t 3 x 7x 6 3 7 13 x 2 7 13 x 2 Vậy MinA x 1 7 13 x 2