Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Trà Vinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Trà Vinh (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT TRÀ VINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH * LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018 Đề thi chính thức MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây: Bài 1. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình y 2 x 2 2 y x 1(1) x 1 2 2 x y 3x 1(2) GIẢI ĐKXĐ: x>1 Từ (1) y2 x2 2y x 1 ( x 1)2 (y x 1)2 x2 y x x 1 *Thế y x x 1 vào (2), ta được: x 1( x 1 1) 0 x 1 (loại) *Thế y x x 1 vào (2), ta được: x 1( x 1 1) 0 x=1 (loại) hoặc x=2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1) Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới. Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A là 10404 người. Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ? GIẢI Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0) Số dân sau một năm: 10000(x+1) Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1) Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1)2 =10404 Hay x2 +2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02) Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2% Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1. Tính giá trị của (1 y2)(1 z2) (1 z2)(1 x2) (1 x2)(1 y2) x y z biểu thức A=1 x2 1 y2 1 z2 GIẢI Ta có: 1 x2 xy yz zx x2 (x y)(x z) Tương tự : 1 y2 xy yz zx y2 (y x)(y z) 1 z2 xy yz zx x2 (z x)(z y) Do đó: A=x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx)=2.1=2 Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của
2. ab bc ca P=c ab a bc b ca GIẢI Theo điều đề bài ta có: 1-a>0 ; 1-b>0 ; 1-c>0. Nên theo BĐT Cô-si, ta có: a b ab 2 1 b 1 a (1 b)(1 a) b c bc 2 1 c 1 b (1 c)(1 b) c a ca 2 1 a 1 c (1 a)(1 c) a c b c a b ab bc ca 2( ) 1 b 1 a 1 c c ab a bc b ca ab bc ca hay1 1 1 2( ) c ab a bc b ca 3 ab bc ca 2 c ab a bc b ca Vậy maxP =3 tại a = b = c =1 2 3 Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 x 2y 3xy 3x 5y 15 (*) GIẢI (*) x2 3(y 1)x 2y2 5y 15 0 [3(y 1)]2 4.1.(2y2 5y 15) (y 1)2 68 0 Để phương trình có nghiệm nguyên thì (y 1)2 68 m2 (m y 1)(m y 1) 68 Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17 *Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30 *Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36 Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17) Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2. Chứng minh: 3 3 3 3 x y (x y ) 2 GIẢI Do x, y>0 và x+y=2 nên (x y)3 x3 y3 3xy(x y) x3 y3 6xy Theo BĐT Cô-si ta có: 2 2xy 2xy 2xy 4 4 24 8 (x y)3 x3 y3
3. 2 6xy x3 y3 6xy x3 y3 2 Hay x3 y3 x3 y3 2 x3 y3 (x3 y3 ) Vậy 2 x3 y3 (x3 y3 ) Dấu = xảy ra khi x=y=1 Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và có AB<AC. Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đưởng tròn (O). Vẽ MH vuông góc với BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB ( H thuôc BC, K thuộc AC, I thuộc AB). Chứng minh: BC AC AB MH MK MI GIẢI A K H B C I M AC AB AK KC AI BI AK KC AI BI Ta có: (1) MK MI MK MI MK MK MI MI AK BH MAˆK MBˆH, MKˆA MHˆB MAK : MBH (2) MK MH AI CH Mà: MAˆI MCˆH, MIˆA MHˆC MAˆI : MCˆH (3) MI MH BI CK MBˆI MCˆK, MIˆB MKˆC MBI : MCK (4) MI MK AC AB BH CH BC Từ (1),(2),(3),(4) suy ra: MK MI MH MH MH Hết