Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học lớp 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học lớp 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (3đ) a) Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để AB biết A 10x2 7x 5và B 2x 3 c) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng: x y 2 x y 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Bài 2 (3đ) Giải các phương trình sau: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3. (2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối của tia CB lấy F sao cho AE CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Gọi I là trung điểm của EF.Chứng minh O,C,I thẳng hàng Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD AE. Xác định vị trí điểm D,E sao cho: a)DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x 2 2 b) A 10x2 7x 5 7 Xét 5x 4 B 2x 3 2x 3 7 Với x ¢ thì AB khi ¢ 7 2x 3 2x 3 Mà Ư 7 1;1; 7;7 x 5; 2;2;1thì AB x y x4 x y4 y c) Biến đổi y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 x4 y4 x y do x y 1 y 1 x & x 1 y xy y2 y 1 x2 x 1 x y x y x2 y2 x y xy x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1 x y x2 y2 1 2 2 2 2 xy x y xy x y x y xy 2 x y x2 x y2 y x y x x 1 y y 1 xy x2 y2 x y 2 2 xy x2 y2 3
3. x y x y y x x y 2xy xy x2 y2 3 xy x2 y2 3 2 x y Suy ra điều phải chứng minh x2 y2 3 Bài 2. 2 a) x2 x 4 x2 x 12 Đặt y x2 x y2 4y 12 0 y2 6y 2y 12 0 y 6 y 6 y 2 0 y 2 *x2 x 6 vô nghiệm vì x2 x 6 0với mọi x *x2 x 2 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2; x 1 b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 Vì 0 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003
4. Bài 3 E I B F C O A D a) Ta có : ADE CDF c.g.c EDF cân tại D Mặt khác ADE CDF(c.g.c) B· ED C· FD Mà B· ED D· EF E· FB 900 B· FD D· EF E· FB 900 E· DF 900 . Vậy EDF vuông cân. b) Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI EF 2 1 Tương tự BI EF DI BI 2 I thuộc đường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Nên O,C,I thẳng hàng
5. Bài 4 B D A E C a) Đặt AB AC a không đổi; AE BD x 0 x a Áp dụng định lý Pytago với ADE vuông tại A có: DE 2 AD2 AE 2 a x 2 x2 2x2 2ax a2 2 x2 ax a2 2 a a2 a2 2 x 2 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE 2 nhỏ nhất x 2 a BD AE D, E là trung điểm của AB, AC 2 b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất 1 1 1 2 Ta có: SADE AD.AE AD. AB AD AD AB.AD 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 AB AB AB 1 AB AB AB AD 2. .AD AD 2 2 4 8 2 2 8 8
6. AB2 AB2 3 Vậy S S S AB2 không đổi BDEC ABC ADE 2 8 8 3 Do đó min S AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC BDEC 8