Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 Bài 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b)x4 2010x2 2009x 2010 Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3. (3 điểm) 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Tìm x biết: 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4. (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A,D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6. (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA, AB sao cho ·AFE B· FD;B· DF C· DE;C· ED ·AEF a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC b) Cho AB 5,BC 8,CA 7. Tính độ dài đoạn BD.
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) x y z 3 x3 y3 z3 x y z 3 x3 y3 z3 y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx 3 y z x x y z x y 3 x y x z y z b) x4 2010x2 2009x 2010 x4 x 2010x2 2010x 2010 x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2010 Bài 2 x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức:
3. 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a (tm) 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a (tm) 2 4023 x 2 (TMDK) 4015 x 2 Bài 4 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 335 khi x 3
4. Bài 5 C F D A E B a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ µA Fµ 900 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B· AC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD EF 3AD 4EF 7AD 3AD 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC
5. Bài 6. A E F O B D C a) Đặt ·AFE B· FD ,B· DF C· DE ;C· ED ·AEF  Ta có: B· AC   1800 * Qua D,E,F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF O· FD O· ED O· DF 900 (1) Ta có: O· FD  O· ED  O· DF 2700 (2) 1 & 2   1800 Từ * & B· AC B· DF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
6. Bµ ,Cµ  AEF : DBF : DEC : ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7 7 CE 5 5 BF 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có: CD BD 8 (4) Từ (3) và (4) BD 2,5