Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Kim Thành - Môn thi: Toán lớp 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Kim Thành - Môn thi: Toán lớp 6

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Mụn : Toỏn Lớp 6 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) a3 2a2 1 Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức A a3 2a2 2a 1 a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a) là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1 và cba (n 2)2 Câu 3:a. (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. a n a Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b n b 1011 1 1010 1 b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1012 1 1011 1 Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. 1
2. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN KIM THÀNH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mụn : Toỏn lớp 6 Câu 1: a3 2a2 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Ta có: A = a3 2a2 2a 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) 99(a-c) = 4 n – 5 4n – 5  99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100  n2-1  999 101  n 2  1000 11 n31 39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) 2 và (a+n)  2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm a a a Ta xét 3 trường hợp b 1 b 1 b 1 (0,5 điểm). a 1 a n a n a TH1: b a=b thì b n thì b n = b =1. (0 , vì ,5 điểm). a TH1: b 1 a>b a+m > b+n. a n a b Mà b n có phần thừa so với 1 là b n 2
3. a a b a b a b a n a b có phần thừa so với 1 là b , vì b n b (0,25 điểm). 1011 1 b) Cho A = ; 1012 1 a a n a (1011 1) 11 1011 10 rõ ràng A A n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. 3