Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS - Môn thi: Toán - Bảng B

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS - Môn thi: Toán - Bảng B

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 n 2 không chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 17 là một số chính phương. Câu 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 4x+5 = 2 2x+3 2x+y = x2 b) Giải hệ phương trình: 2 2y+x = y Câu 3 (3,0 điểm). 4x+3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC2 b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K (O). Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B Câu: Nội dung 1. *) Nếu n3 n2 n3 nên n2 n 23 (1) a, *) Nếu n3 n2 23 (2,5) n2 n 23 (2) Từ (1) và (2) n Z thì n2 n 23 Đặt m2 n2 17 (m N) m2 n2 17 (m n)(m n) 17 1.17 =17.1 b, Do m + n > m - n (2,5) m n 17 m 9 m n 1 n 8 Vậy với n = 8 ta có n2 17 64 17 81 92 2. Giải phương trình x2 4x+5=2 2x+3 (1) 3 Điều kiện: 2x+3 0 x - 2 (1) x2 4x+5-2 2x+3 0 x2 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0 a, (x 1)2 ( 2x+3 1)2 0 (2.5) x 1 0 2x+3 1 0 x 1 2x+3=1 x 1 thỏa mãn điều kiện Giải hệ phương trình 2x+y=x2 (1) b, 2 2y+x=y (2) (2.5) Trừ từng vế 2 phương trình ta có: x2 y2 x y (x y)(x y 1) 0
3. x y x y x y 1 0 x 1 y Ta có: x y x y *) x(x 3) 0 x 0 hoặc x = 3 Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) x 1 y x 1 y x 1 y *) (*) 2 2 2 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0 Vì phương trình y2 y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 3. 4x+3 Tìmgiá trị nhỏ nhất của A x2 1 4x+3 x2 4x+4 Ta có: A 1 x2 1 x2 1 (x 2)2 A 1 1 x2 1 Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2 Vậy Amin 1 khi x = -2 4. a, A (2,5) E F H O B I C K Gọi I là giao điểm của AH và BC AI  BC Ta có: BHI S BCE (g, g) BH BI BH.BE BC.BI (1) BC BE Ta có: CHI S CBF (g, g) CH CI CH.CF BC.CI (2) CB CF Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2 b, Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra H· CB K· CB (2,0) Mà F· AI H· CI (do tứ giác AFIC nội tiếp)
4. F· AI B· CK hay B· AK B· CK tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) K (O) 5. + Khi B· AC 900 B· IC 900 . F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. EF đi qua điểm O cố định. B F O K I A E C + Khi B· AC 900. Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. E· IF E· AF (cùng bù B· IC ) E· KF E· IF (Do I và K đối xứng qua EF) E· KF E· AF AKFE nội tiếp K· AB K· EF (cung chắn K»F ) (1) I·EF K· EF (Do K và I đối xứng qua EF) (2) I·EF B· IK (cùng phụ K· IE ) (3) Từ (1), (2), (3) K· AB B· IK AKBI là tứ giác nội tiếp K (O) Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng. + Khi B· AC > 900 B· IC < 900 chứng minh tương tự. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. - - - Hết - - -