Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) a 2018 a 2018 a 1 Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức P . a 2 a 1 a 1 2 a 2 Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y x y z , x y z 2 x x z x z và y z. Chứng minh đẳng thức 2 . y y z y z Câu 3 (2,0 điểm). Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321. ( m 1)x y 2 Câu 4 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình (m là tham số và x, y là ẩn số) x 2y 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là các số nguyên. Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình 1 x 4 x 3. Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A,AB 12cm,AC 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc ·BAD 500 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng: MB.DN BH .AD b) Tính số đo góc ·MON Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. 1 1 1 Câu 9 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2 . Chứng minh a b c 1 1 1 2 rằng: . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3 Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 1 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Hết Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II) Đáp án và thang điểm: a 2018 a 2018 a 1 Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức P . a 2 a 1 a 1 2 a Nội dung trình bày Điểm a 0 0,5 Điều kiện: a 1 a 2018 a 2018 a 1 0,5 Khi đó: P 2 ( a 1) ( a 1)( a 1) 2 a ( a 2018 )( a 1) ( a 2018 )( a 1) a 1 0,5 . ( a 1)2( a 1) 2 a 2.2017 a a 1 2017 0,5 . ( a 1)2( a 1) 2 a a 1 2 Câu 2(2,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y x y z , x y z 2 x x z x z và y z.Chứng minh đẳng thức 2 . y y z y z Nội dung trình bày Điểm 2 2 2 0,5 x x z x y z y x z Ta có: 2 2 2 y y z x y z x y z 2 0,5 x 2 y z x z x z 2 2 x y z y z y z x z 2 x 2 y 2 z 0,5 y z 2 x 2 y 2 z x z 0,5 . y z
3. Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321. Nội dung trình bày Điểm Ta có: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 1 0,5 Vì a,b,c,d ¥ và 1 a 9,0 b,c,d 9 nên 3214 1111a 4321 0,25 a 3. Thay vào (1) ta được: 111b 11c d 988 2 0,25 Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 0,25 b 8 .Thay vào (2) ta được: 11c d 100 0,25 Mà 91 11c 100 c 9 và d 1 . 0,25 Vậy abcd 3891. 0,25 ( m 1)x y 2 Câu 4(2,0 điểm).Cho hệ phương trình (m là tham số và x, y là ẩn số) x 2y 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong đó x, y là các số nguyên. Nội dung trình bày Điểm Từ phương trình thứ hai ta có: x 2 2y thế vào phương trình thứ nhất được: 0,25 ( m 1)( 2 2y ) y 2 ( 2m 3 )y 2m 4 (3) 0,25 Hệ có nghiệm x, y là các số nguyên ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên. 0,25 2m 4 0,25 Với m ¢ 2m 3 0 ( 3 ) có nghiệm y 2m 3 1 0,25 1 2m 3 2m 3 1 0,25 y ¢ 2m 3 1 m 2 0,25 m 1 Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2. 0,25 Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình 1 x 4 x 3. Nội dung trình bày Điểm 1 x 0 0,25 Điều kiện xác định 4 x 1 * 4 x 0 Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với: 5 2 1 x. 4 x 9 0,25 1 x 4 x 2 0,25 1 x 4 x 4 0,25 x2 3x 0 0,25 x x 3 0 0,25 x 0 0,25 x 3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3. 0,25
4. Câu 6(2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A,AB 12cm,AC 16cm . Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Nội dung trình bày Điểm Ta có BC AB2 AC 2 20cm . Gọi E là giao điểm của BI với AC. 0,5 AE EC AE EC 1 0,25 Theo tính chất đường phân giác ta có: AB BC AB BC 2 BC 0,25 EC 10cm 2 Ta có ICE ICM( c g c ) do:EC MC 10 ; ·ICE ·ICM ; IC chung. 0,25 Suy ra: ·IEC ·IMC ·IEA ·IMB 0,25 Mặt khác ·IBM ·IBA hai tam giác IBM ,ABE đồng dạng 0,25 ·BIM ·BAE 900 BI  MI 0,25 Câu 7(2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc ·BAD 500 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng MB.DN BH .AD b) Tính số đo góc ·MON Nội dung trình bày Điểm a)Ta có ·MBH ·ADN ,·MHB ·AND 0,25 MBH ∽ ADN 0,25
5. MB BH 0,25 AD DN MB.DN BH .AD (1) 0,25 BH OB b) Ta có:∽ OHB AOD DO.OB BH .AD 2 DO AD 0,25 MB OB 0,25 Từ (1) và (2) ta có: MB.DN DO.OB DO DN Ta lại có: ·MBO 1800 ·CBD 1800 ·CDB ·ODN 0,25 nên ∽ MBO ODN ·OMB ·NOD. Từ đó suy ra: ·MON 1800 ·MOB ·NOD 1800 ·MOB ·OMB 0,25 1800 ·OBC 1150 Câu 8 (2,0 điểm).Cho đường tròn ( O ) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) . Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn ( O )( A không trùng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn ( O ) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Nội dung trình bày Điểm Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên 0,25 OD  BC,OM  AC . Ta có: · ODC ·OMC 900 Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn ( I ) có 0,25 tâm Icố định, đường kính OC cố định. Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của 0,5 đường tròn ( I ) . Nếu H E,H B 0,25 - Với M  E ·BHE 900 - Với M E , do DM P BH ·DMH 900 . 0,25 Khi đó ·DME ·DMH 900 H ,M ,E thẳng hàng. Suy ra ·BHE 900 0,25 Vậy ta luôn có: ·BHE 900 hoặc H  E hoặc H  B do đó H thuộc đường tròn đường 0,25 kính BE cố định.
6. 1 1 1 Câu 9(2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2 . Chứng a b c 1 1 1 2 minh rằng: 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3 Nội dung trình bày Điểm 1 1 1 1 0,25 Với x, y,z 0 ta có : x y z 3 3 xyz , 3 3 x y z xyz 1 1 1 x y z 9 x y z 1 1 1 1 1 . x y z 9 x y z Đẳng thức xảy ra khi x y z Ta có: 5a2 2ab 2b2 ( 2a b )2 ( a b )2 ( 2a b )2 0,5 1 1 1 1 1 1 0,25 5a2 2ab 2b2 2a b 9 a a b Đẳng thức xảy ra khi a b 1 1 1 1 1 1 0,25 Tương tự: 5b2 2bc 2c2 2b c 9 b b c Đẳng thức xảy ra khib c 1 1 1 1 1 1 0,25 5c2 2ca 2a2 2c a 9 c c a Đẳng thức xảy ra khi c a 1 1 1 1 3 3 3 0,25 Vậy 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 9 a b c 1 1 1 1 2 0,25 3 a b c 3 3 Đẳng thức xảy rakhi a b c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 2
7. Câu 10 (2,0 điểm).Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 1 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy. Nội dung trình bày Điểm Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của 0,5 AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho SCDSK 3SABKS Từ SCDSK 3SABKS ta suy ra được: DS CK 3 AS BK 0,25 1 a AS a BK 3 AS BK AS BK a 2 1 0,5 EM a suy ra E cố định và d đi qua E. 4 a 0,25 Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN GP HQ . 4 Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H. Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít 0,5 2018 nhất 1 505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 4 là 505 đường thẳng đó đồng quy.