Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp huyện - Môn: Toán - Mã đề 102

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp huyện - Môn: Toán - Mã đề 102

1. UBND HUYỆN PHÙ NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) MÃ ĐỀ THI: 102 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm x 2 x 3 x 4 x 5 Câu 1. Giải phương trình ta được nghiệm là 58 57 56 55 A. 59. B. 60. C. 59. D. 60. Câu 2. Cho 13 4 3 a 3 b với a,b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T a3 b3 A. T 9. B. T 7. C. T 9. D. T 7. 3 Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , có AH 12cm và tan B . 4 Khi đó độ dài đoạn HB bằng: 24 B. 16cm. C. 8cm. D. 9cm. A. cm. 3 Câu 4. Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên tập số thực A. y (m2 m 1)x 1 B. y (m2 m 1)x 1 C. y (m2 m 1)x 1 D. y ( m2 m 1)x 1 Câu 5. Cho tam giác ABC có BC 16cm . Lấy hai điểm M , N lần lượt thuộc hai cạnh AB, AC sao cho BM 3AM , AC 4AN . Độ dài đoạn thẳng MN bằng 16 A. 4cm B. 8cm C. 12cm D. cm 3 Câu 6. Một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 272m , cùng thời điểm đó một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 14m .(minh họa hình vẽ bên dưới). Biết mỗi tầng cao 3,4m . Khi đó số tầng của tòa nhà đó là A. 90. B. 98. C. 40. D. 70 7m 14m 272m
2. 2 Câu 7. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH 3cm;CH 4cm. Khi đó diện tích tam giác ABC là 2 2 2 2 A. 42cm . B.14 3 cm . C. 21cm . D. 7 3cm . Câu 8. Biết phương trình (a b 8)x 2a b 7 0 có vô số nghiệm. Khi đó giá trị của biểu thức A a2 b2 bằng A. 1 B. 15 C. 30 D. 34 Câu 9. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AB 6cm, Bµ 60o ,Cµ 45o . Độ dài cạnh AC bằng A. 3cm B. 3 2cm C. 3 3cm D. 3 6cm Câu 10. Trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng y x 2 ; y 2x 1 và y (m2 1)x 2m 1. Giá trị của m để ba đường thẳng cùng đi qua một điểm là A. m 3. B. m { 1;1}. C. m { 1;3}. D. m 1. Câu 11. Điểm cố định mà đường thẳng y (m 1)x (2m 1) luôn đi qua với mọi m là A. ( 3;1). B. ( 2;1). C. (3; 1). D. (2; 1). 1 3 2 Câu 12. Giá trị lớn nhất của biểu thức A là x 1 x x 1 x x 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 13. Cho ABC vuông tại A . Đường tròn (O)nội tiếp ABCtiếp xúc với BC tại D ; BD 4cm;DC 6cm . Độ dài đường kính của đường tròn (O) là A. 4cm. B. 5cm. C. 6cm. D. 2cm. Câu 14. Cho x 3 5 2 6 3 5 2 6 . Giá trị của biểu thức A x3 3x 2010 bằng: A. 2020. B. 2019. C. 2018. D. 2017. Câu 15. Một nhà toán học trẻ chưa đến 40 tuổi, khi được hỏi: bao nhiêu tuổi, đã trả lời như sau: “ Tổng, tích, hiệu, thương của tuổi tôi và tuổi con trai tôi cộng lại bằng 216”. Hỏi nhà toán học trẻ bao nhiêu tuổi? A. 21 tuổi B. 35 tuổi C. 30 tuổi D. 39 tuổi Câu 16. Cho đường tròn O;5cm và dây AB 8cm . Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho AI 1cm . Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB . Độ dài dây CD bằng A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 7cm
3. 3 II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm) a)Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y2 2xy 3x 2 0 . b)Cho a,b,c là ba số nguyên thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1 . Chứng minh rằng T = (a2 1)(b2 1)(c2 1) là một số chính phương. Câu 2 (3,0 điểm) a b c b c a a) Cho + + 1 b c a a b c Chứng minh rằng : Trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau b)Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 Câu 3 (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Lấy một điểm A bất kỳ thuộc xy. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại K và cắt đường tròn tại C, AO cắt cung nhỏ BC tại I. Chứng minh rằng: a)AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b)I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c) Khi A di động trên đường thẳng xy thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định khác điểm O. Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab2 b2 bc2 c2 ca2 a2 P 1 b2 1 c2 1 a2 Hết Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh SBD
4. 4 UBND HUYỆN PHÙ NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn:Toán MÃ ĐỀ THI:102 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Hướng dẫn chấm có 04 trang I.Một số chú ý khi chấm bài - Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm I. Phần trắc nghiệm khách quan Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án D B B C A C D D D C B B A A C C đúng Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a)Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y2 2xy 3x 2 0 . b)Cho a,b,c là ba số nguyên thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1 . Chứng minh rằng T = (a2 1)(b2 1)(c2 1) là một số chính phương. Câu Gợi ý Điểm 2 2 2 2 2 y 2xy 3x 2 0 x 2xy y x 3x 2 (x y) (x 1)(x 2) (*) 0,5 VT của (*) là số chính phương, VP của (*) là tích của 2 số nguyên 0,5 1 liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. x 1 0 x 1 y 1 Ta có a) x 2 0 x 2 y 2 (1,5) Vậy có 2 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán: 0,5 (x; y) ( 1;1) hoặc (x; y) ( 2;2) b) Thay ab bc ca 1 (1,5) Ta có: (a2 ab bc ca)(b2 ab bc ca)(c2 ab bc ca) 0,5
5. 5 [a(a b) c(b a)].[b(b a) c(b a)].[c(a c) b(a c)] 0,5 0,25 (a b)(a c)(a b)(b c)(a c)(b c) 0,25 2 [(a b)(b c)(a c)(c a)] là số chính phương Câu 2 (3,0 điểm) a b c b c a a) Cho + + 1 b c a a b c Chứng minh rằng : trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau b)Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 Câu Gợi ý Điểm Từ 1 a 2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 + a 2b 0,5 2 a 2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 + a 2b a 2 (b - c) - a(c2 b2 ) bc(c - b) = 0 0,5 a) (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 (1,5) 0,5 x 1 x 2 0 x 3 0 0,5 Điều kiện x 2 x 2 0 x 1 x 3 0 0,25 b) (1) x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1 (1,5) 1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0 0,25 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 x 3 0 x 2 0,25 x 2 x 3 0 x 2 x 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. 0,25 Bài 3: (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Lấy một điểm A bất kỳ thuộc xy. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Qua B
6. 6 kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại K và cắt đường tròn tại C, AO cắt cung nhỏ BC tại I. Chứng minh rằng: a)AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c) Khi A di động trên đường thẳng xy thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định khác điểm O. Bài Gợi ý Điểm a) Chứng minh: V ACO = V ABO (c.g.c) 1,0 => AC  OC mà C thuộc (O) do (gt) 1,0 => AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) b)Vì tam giác BIC cân tại O ta có OBI OIB IAB IBA IBK KBO IAB IBK ( vì KAB KBO 3 BI là phân giác của ABC (1) 1,25 (4,5 Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì AK là phân giác của đ) BAC (2) Từ (1) và (2) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c)Gọi E là trung điểm của AO. Áp dụng tính chất đường trung tuyến 1 trong tam giác vuông ta có : AE BE OE CE AO 2 AO Bốn điểm A, B,O,C E; (3) 2 Hạ OH  xy tại H. Vì O và xy cố định nên H cố định 1,25 Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta có : 1 AO HE AO H E; (4) 2 2 Từ (3) và (4) Khi A di động trên đường thẳng xy thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua điểm H cố định. Câu 4 (1,5 điểm)
7. 7 Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab2 b2 bc2 c2 ca2 a2 P 1 b2 1 c2 1 a2 Câu Gợi ý Điểm ta chứng minh được bất đẳng thức 3(ab bc ca) (a b c)2 0,5 1 (ab bc ca) (a b c)2 3 3 (*) Lại có ab2 b2 bc2 c2 ca2 a2 0,5 P 1 b2 1 c2 1 a2 ab2 bc2 ca2 b2 c2 a2 2 2 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a (1,5) ab2 bc2 ca2 b2 c2 a2 P (AD : AM GM ) 2b 2c 2a 2b 2c 2a 0,5 3 a b c 3 a b c P 3 2 2 2 2 2 2 Dấu bằng a = b = c =1 Vậy GTLN của P = 3 khi và chỉ khi a = b = c = 1 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa