Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán học

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán học

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN LAI VUNG NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 17/01/2016 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi có 02 trang, gồm 5 câu) Câu 1 (4,0 điểm) 5 3 8 2 a) Tính A . 2 2 1 a a 1 a a b) Cho biểu thức B a a . 1 a 1 a Tìm điều kiện để biểu thức B có nghĩa và rút gọn biểu thức B. c) Tìm x, y, z để biểu thức C 5 x2 y 2 z 2 4 x 2 xy z 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2 (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p2 1)  24 . b) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương. Câu 3 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 3x 10 3 17 x 3 . b) Cho một tam giác vuông. Nếu tăng hai cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác tăng lên 44cm2. Nếu giảm cả hai cạnh góc vuông đi 4cm thì diện tích tam giác giảm đi 58cm2. Tính hai cạnh góc vuông. c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 y x y 1 2 x 2 xy y 2 . Câu 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng. b) Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại D và E cắt cạnh BC lần lượt tại M và N. Chứng minh M, N tương ứng là trung điểm của HB, HC. c) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính diện tích tứ giác MDEN.
2. Câu 5 (4,5 điểm) a) Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O song song AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 1 1 2 Chứng minh: . AB CD MN b) Cho tam giác ABC. Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất. HẾT Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
3. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016 Hướng dẫn chấm gồm 06 trang MÔN: TOÁN I. HƯỚNG DẪN CHUNG: 1. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó. 2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. 3. Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm. II. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM: Câu 1 (4,0 điểm) Nội dung Điểm a) 1,0 5 52 3 3 8 2 1 2 2 2 2 0,5 A 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 0,5 2 2 2 2 1 2 2 b) 2,0 + B có nghĩa khi a 0; a 1 0,5 1 a a 1 a a + Rút gọn B a a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a a (1 a )(1 a ) 2 * a 1 a 0,5 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a a (1 a )(1 a ) 2 * a 1 a 0,5 1 a 1 a 1 a 2 2 * Vậy B 1 a 1 a (1 a )2 0,5
4. Nội dung Điểm c) 1,0 C 5 x2 y 2 z 2 4 x 2 xy z 1 1 9 x2 2 xy y 2 4 x 2 4 x 1 z 2 z 4 4 0,5 1 9 9 (x y )2 (2 x 1) 2 ( z ) 2 2 4 4 x y 0 1 Dấu = xảy ra 2x 1 0 x y z 2 1 z 0 0,5 2 1 Vậy C có giá trị nhỏ nhất x y z 2 Câu 2 (3,0 điểm) Nội dung Điểm a) 1,5 p là số nguyên tố lớn hơn 3 p lẻ p 1; p 1 là hai số chẵn liên tiếp 0,5 (p 1)( p 1)  8 hay ( p2 1)  8 (1) Mặt khác: p; p – 1; p + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3, mà p là số nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 3. 0,5 (p – 1) hoặc (p + 1) chia hết cho 3 hay (p2 1)  3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (p2 1)  24 0,5 b) 1,5 Giả sử n + 12 = a2 và n – 11 = b2 (a, b N, a > b) 0,5 Suy ra: a2 – b2 = n + 12 – n + 11 = 23 0,5 (a + b) (a - b) = 23.1 a b 23 Giải hệ phương trình: a b 1 0,5 Giải ra: a = 12, b = 11 => n = 132.
5. Câu 3 (4,0 điểm) Nội dung Điểm a) 2,0 Giải phương trình 3x 10 3 17 x 3 (3x 10 3 17 x )3 3 3 0,5 x 10 17 x 3.3 ( x 10)(17 x ).3 27 0,5 (x 10)(17 x ) 0 0,5 x 10 0,5 x 17 b) 1,5 Gọi x, y là hai cạnh góc vuông; x 4, y 4 0,25 xy Diện tích tam giác vuông là 0,25 2 (x 2)( y 3) xy 44 2 2 Ta có hệ : 0,25 (x 4)( y 4) xy 58 2 2 3x 2 y 82 x 16 4x 4 y 132 y 17 0,5 Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm có độ dài là 16cm, 17cm 0,25 c) 1,5 Ta có: 2x2 y x y 1 2 x 2 xy y 2 0,25 2x2 y 2 x 2 xy x y 2 y 1 0 2(x2 y 1) x ( y 1) y ( y 1)10 (*) Nhận xét y 1 không phải là nghiệm của (*) 0,25 1 Chia cả 2 vế của (*) cho y 1 ta được: 2x2 x y 0( ) 0,25 y 1 1 y 2 Với x, y nguyên, suy ra nguyên nên y 1 1 0,25 y 1 y 0 Thay y 0 và y 2 vào ( ) ta được: 2x 1 0 0,25 2x2 x 10 (2 x 1)( x 1)0 ; Vì x nguyên nên x 1 x 1 0 Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên là: (1;2) và (1;0) 0,25
6. Câu 4 (3,5 điểm) Nội dung Điểm Hình vẽ : A E O D C N H B M a) 1,0 ADH: OD OA OH ADH vuông tại D 0,25 AEH: OE OA OH AEH vuông tại E 0,25 Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 0,25 Vì O là trung điểm AH nên O cũng là trung điểm DE hay D, O, E 0,25 thẳng hàng b) 1,0 * Ta có MD, MH là 2 tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (O) nên OM DH , mà AD DH OM//AD 0,5 Tam giác ABH có O là trung điểm AH, OM//AB suy ra M là trung điểm BH * Tương tự, NE, NH là 2 tiếp tuyến kẻ từ N đến đường tròn (O) nên ON EH , mà AE EH ON//AE 0,5 Tam giác ACH có O là trung điểm AH, ON//AC suy ra N là trung điểm CH c) 1,5 Do DM, EN cùng vuông góc DE (tiếp tuyến) nên DM // EN, suy ra 0,25 MDEN là hình thang vuông. BC AB2 AC 2 10; 0,25 AB. AC 24 AH DE 0,25 BC 5 BC M, N tương ứng là trung điểm BH, CH nên MN 5 0,25 2 1 1 S ( DM EN ). DE ( HM HN ). DE MDEN 2 2 0,5 1 1 24 .MN . DE .5. 12( cm2 ) 2 2 5
7. Câu 5 (4,5 điểm) Nội dung Điểm a) 2,0 Vẽ hình: A B M N O D C OM OD Ta có: OM//AB (1) 0,25 AB DB ON OC ON//AB (2) 0,25 AB AC OD OC AB//DC (3) 0,25 DB AC ON OB ON//DC (4) 0,25 DC DB OM ON Từ (1), (2) và (3): OM ON hay O là trung điểm của MN 0,5 AB AB OM ON OD OB DB Cộng (1) với (4) theo vế: 1 AB CD DB DB DB 0,5 2OM 2 ON MN MN 1 1 2 2 2 AB CD AB CD AB CD MN b) 2,5 Hình vẽ: A x F I M y C B H D E Kẻ AH BC , AH cắt MF tại I. Suy ra: AH MF 0,25
8. Nội dung Điểm S’=IH. MF (S’ là diện tích hình bình hành BEMF) 1 0,25 S= BC. AH (S là diện tích tam giác ABC) 2 S'. IH MF MF IH Ta có: 2 . (1) 1 SBC. AH BC AH 0,25 2 Đặt AM=x và MC=y MF AM x IH MC y 0,25 Vì MF // BC nên ta có: ; BC AC x y AH AC x y S' x y 2 xy Thay vào (1) ta có: 2. . S x y x y() x y 2 0,25 Vì x, y là số không âm nên ta có: x y 2 xy ( x y )2 4 xy 0,25 S' 2 xy 2 xy 1 S( x y )2 4 xy 2 0,25 S ' 1 1 SS' 0,25 S 2 2 1 SS' là lớn nhất. 0,25 2 Dấu “ = ” xảy ra khi x=y, tức là M là trung điểm của cạnh AC thì diện 1 0,25 tích hình bình hành BEMF đạt giá trị lớn nhất là S không đổi. 2 Hết