Đề thi chọn học sinh giỏi khối 9 - Môn thi: Toán học

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi khối 9 - Môn thi: Toán học

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BÁ THƯỚC Năm học 2014- 2015 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Đề có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút x( x 2) 1 x 2 Bài I:(4,0điểm). Cho biểu thức: A : 1 x x 1 x 1 x x 1 1. Tìm x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A. 2. Tìm các giá trị của x để A < 2. 3. Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị là một số nguyên. Bài II:(4,0điểm). 1. Chứng minh rằng: x8 x5 x4 x2 x 1 0 với mọi x. a b c b c a c a b 2. Cho a, b, c thoả mãn: c a b b c a Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 a b c Bài III:(4,0điểm). 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2014 là số chính phương 2. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 1 1 1 1 5 3. chứng minh rằng: 1 < . 4 9 16 n2 3 Bài IV:(6điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tia Ax vuông góc với AB (tia Ax và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Lấy một điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn (C khác A và B). Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F. 1. Chứng minh MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O. 2. Tia BM cắt nửa đường tròn tại D. Chứng minh tam giác MDF đồng dạng với tam giác MOB. 3. Cho AB = 2R. Gọi E là giao điểm của MC với tiếp tuyến By của nửa đường tròn tâm O. Tìm vị trí của C để tích OM.OE đạt giá trị nhỏ nhất. Bài V:(2điểm). Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x4 y4 z4 F (x2 y2 )(x y) (y2 z2 )(y z) (z2 x2 )(z x) Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS BÁ THƯỚC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 - Hướng dẫn này có 5 trang. - Đây là hướng dẫn chấm, Giám khảo phải căn cứ vào bài làm của học sinh để chấm điểm. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu bài hình vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình. - Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. Câu Ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Điều kiện để A có nghĩa là: x 0 ; x 1 0,5 x 2 x (x x 1) x x 1 ( x 2) Ta có: A = : 1 ( x 1)(x x 1) x x 1 0,5 (1,5đ) ( x 1)(x x 1) 1 = = 0,5 ( x 1)(x x 1)(x 1) x 1 1 1 2x 3 Để A = 0 0,5 2 x 1 x 1 x 1 (1,5đ) x 3/2 0,5 I 0,5 (4,0đ) Kết hợp với điều kiện ta có: 0 x 3/2 1 1 Ta có: A = Để A nhận giá trị nguyên thì phải nguyên. x 1 x 1 0,25 1 Đặt = k( k z, k≠ 0) 3 x 1 0,25 (1,0đ)  x-1=1 => x = 1 +1= 1 k . k k k 0,25 1 k Vậy với x = ( k z, k> 0, hoặc k ≤ -1) thì A nhận giá trị nguyên. k 0,25 Đặt T = x8 – x5 – x4 + x2 – x + 1, ta có 0,5 2T = 2x8 – 2x5 – 2x4 + 2x2 – 2x + 2 = 0,5 1 = (x8 – 2x4 +1) + (x8 – 2x5 + x2) + ( x2 - 2x + 1)= 0,5 (2,0đ) = (x4 – 1)2 + x2(x3 – 1)2 + (x – 1)2 0 với mọi x T 0 với mọi x Dấu bằng xảy ra x = 1. 0,5 II a b c b c a c a b Từ gt 2 2 2 (4,0đ c a b 0,5 a b c b c a c a b c a b 0,5 2 *) Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a c + a = -b (2,0đ) b c a a b b c c a ( c) ( a) ( b) 0,5 KhiđóP= 1 1 1 = = . . = a b c a b c a b c abc = -1 0,5 abc
3. *) Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8 Giả sử n2+2014 = m2 (m €N) (m-n)(m+n)=2014. (*) 0,25 Ta thấy: - Nếu m và n khác tính chẵn lẻ thì vế trái là số lẻ không thoả mãn. 0,25 1 - Nếu m và n cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì (m-n)2 và (m+n) 2 nên vế (1,0đ) trái chia hết cho 4, mà 2014 không chia hết cho 4, tức là cũng không 0,25 thoả mãn (*). Vậy không tồn tại số nguyên n để n2+2014 là số chính phương. 0,25 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 (2x + y) (x – y) = 8 0,5 2x y 8 x 3 TH1: 2 x y 1 y 2 (1,5) 2x y 4 x 2 0,5 TH2: x y 2 y 0 0,5 Vậy các cặp giá trị (x,y) thoả mãn là: (3;2); (2;0). III Ta có: với k N * thì: (4,0đ) 1 4 4 1 1 1 < (đpcm). 4 9 16 n2 3 y x E C IV 1 M D (6,0đ) (2đ) F O B A Vì OM//BC nên MOA = CBO (đồng vị) và MOC = OCB (so le trong) 0,25 Mà OB = OC nên OBC cân tại O CBO = OBC. Do đó : MOA = MOC OM là tia phân giác của cân OAC
4. OM là đường trung trực của AC 0,25 MA = MC Xét MAO và MCO có : OM cạnh chung 0,5 OA = OC MA = MC MAO = MCO (c.c.c) 0,5 MCO = MAO = 900 0,25 MC  OC MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25 Xét ADB có: OD = OA = OB ADB vuông tại D 0,25 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMB, đường cao AD, ta có: MD.MB = MA2 (1) 0,5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO, đường cao AF, ta có: MA2 = MF.MO (2) 0,5 2 MD MO (2đ) Từ (1) và (2) suy ra: MD.MB = MF.MO MF MB 0,25 Xét MDF và MOB có : Mˆ chung MD MO MDF MOB (c.g.c) 0,5 MF MB Vì MC, Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 1 0,25 OM là tia phân giác của AOC MOC = AOC 2 1 OE là tia phân giác của COB COE = COB 0,25 3 2 (2đ) 1 MOC + COE = (AOC + COB) = 900 MOE = 900 0,5 2 ÁP dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MOE, với đường cao 0,5 OC, ta có: OM.OE = OC.ME Vì OC = R không đổi nên OM.OE nhỏ nhất ME nhỏ nhất 0,5 ME//AB OC  AB (a b)2 Từ (a b)2 0 a2 b2 (dấu “=” xảy ra khi a = b) 2 0,25 x4 y4 Ta có: x y ; (x2 y2 )(x y) (x2 y2 )(x y) 0,25 Tươngtự y4 z4 z4 x4 y z; z x 0,25 (y2 z2 )(y z) (y2 z2 )(y z) (z2 x2 )(z x) (z2 x2 )(z x) V 0,25 (2đ) x4 y4 z4 Do đó F (x2 y2 )(x y) (y2 z2 )(y z) (z2 x2 )(z x)
5. 1 x4 y4 y4 z4 z4 x4 2 2 2 2 2 2 2 (x y )(x y) (y z )(y z) (z x )(z x) 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z z x 4 (x2 y2 )(x y) (y2 z2 )(y z) (z2 x2 )(z x) 2 2 2 2 2 2 02,5 1 x y y z z x 4 (x y) (y z) (z x) 2 2 2 1 x y y z z x 1 1 x y z 0,25 8 (x y) (y z) (z x) 4 4 Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = y = z = 1 4 3 0,25