Đề thi chọn học sinh giỏi huyện - Môn thi: Toán lớp 9

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện - Môn thi: Toán lớp 9

1. UBND huyện Kinh môn Phòng giáo dục và đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn Toán lớp 9 Năm học 2013 - 2014 ( Thời gian làm bài 150 phút ) Câu 1 ( 2.0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : 3 5 3 5 1) M . 10 3 5 10 3 5 x (4 x )1 x (4 x )1 1 2) Q . 1 , với x ;1 x 2 . x 2 (4 x )1 x 1 Câu 2 ( 2.0 điểm) 1) Giải phương trình : x 4 x2 7 x2 4x 7 . 2 a 2 2) Cho M . Tìm số hữu tỉ a để M là số nguyên. a 5 Câu 3 ( 2.0 điểm) 1) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x 2x ( x y) 2y x 2 . 2) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn 2a2 3ab 2b2 chia hết cho 7. Chứng minh rằng a 2 b2 chia hết cho 7. Câu 4 ( 3.0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AC > AB) đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . 1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn thẳng BE theo m =AB. 2) Gọi M là trung điểm của của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM. GB HD 3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh : . BC AH HC Câu 5 ( 1.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c M . b c 2a c a 2b a b 2c
2. Hướng dẫn chấm môn toán CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM 1(2điểm) 1(1điểm) 3 5 3 5 M 10 3 5 10 3 5 M 3 5 3 5 3 5 3 5 2 2 5 5 1 2 5 5 1 3 5 1 3 5 1 0,5 3( 5)(3 5 )1 3( 5)(3 5 )1 24 6 3( 5 1)(3 5 )1 44 11 0,25 6 2 M 11 0,25 1(1điểm) x (4 x )1 x (4 x )1 1 Q . 1 , với x ;1 x 2 2 x (4 x )1 x 1 (x )1 2 x 1 1 (x )1 2 x 1 1 x 2 Q . 0,25 2 x 1 x 4x 4 2 2 x 1 1 x 1 1 x 2 Q . 2 x 1 x 2 x 1 1 x 1 1 x 2 Q x 2 x 1 0,25 1 x 1 x 1 1 x 2 2 *Nếu 1 2 ta cú Q . x 2 x 1 x 1 0,25 2(2điểm) 1(1điểm) x 4 x2 7 x2 4x 7 ĐKXĐ : x R 2 2 2 x x 7 4 x 7 x 4x 7 x 2 7 x x 2 7 4 x 2 7 4x 0 2 2 x 7 x x 7 4 0 0,25 x 2 7 x 0 x 2 7 x )1( 2 2 x 7 4 0 x 7 4 (2) 0,25 - Phương trỡnh (1) vụ nghiệm - Phương trỡnh (2) cú nghiệm là x 3 0,25 Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là x 3 0,25 2(1điểm) 2 a 2 M (ĐKXĐ : a 0) a 5 0,25
3. 2 a 2 Đặt n ( n là số nguyờn ) Ta cú a n 2 2 5n a 5 0,25 Nếu n = 2 0 8 vụ lý 2 5n Nếu n 2 a n 2 2 5n 2 Do a 0 0 n 2 n 2 5 0,25 Do n nguyờn nên n = 1 khi đó a = 9 ( thỏa món) Vậy a = 9 0,25 3(1điểm) 1(1điểm) x 2x ( x y) 2y x 2 (1) 2 Vỡ x > 0 nờn ( 1) x 2x ( x y) 2y x 2 0,25 x 2 2x 2 2xy 2y x 2 1( x)(x 2y) 2 Do x, y là số nguyờn ta cú bảng sau 0,25 1-x 1 2 -1 -2 x-2y 2 1 -2 -1 x 0 -1 2 3 0,25 y -1 -1 2 2 Mà x, y > 0 nờn cú cỏc cặp số nguyờn (x; y) thỏa món là (2; 2) và (3; 2) 0,25 2(1điểm) Ta cú : 2a2 3ab 2b2  7 (2 a2 b2 2ab) 7ab7 2 a b 2 7ab7 0,25 2 Do 7ab7 ( với a, b nguyờn) 2 a b 7 vỡ (2, 7) = 1 0,25 2 2 Từ đó ta có a b (a b)(a b) 7 0,25 Vậy a 2 b2 chia hết cho 7. 0,25 4(3điểm) A E M B C H G D 1(1điểm) Xột CDE và CAB cú C chung CDE CAB 900 CD CE CD CA Nờn CDE đồng dạng CAB CA CB CE CB 0,25
4. CD CA Xột BEC và ADC cú C chung và CE CB BEC đồng dạng ADC (c.g.c) BEC ADC ( Hai góc 0,25 tương ứng) Ta cú HD = HA (gt) AHD vuụng cõn tại H 0,25 HDA 450 ADC 1350 BEC 1350 AEB 450 0,25 2 ABE vuụng tại A AB = BE.sin AEB m = BE. BE = 2 m. 2 2(1điểm) Ta có tam giác ABE vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao ta có : BM.BE = AB2 0,25 ABC vuụng tại A , đường cao AH ta cú : BH.BC = AB2 0,25 BH BM BM.BE = BH.BC BE BC BH BM Xột BHM và BEC cú B chung và BE BC 0,25 Nờn BHM đồng dạng BEC (c.g.c) BHM BEC 1350 AHM 450 0,25 3(1điểm) Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A cú AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác nên AG là phân giác của BAC GB AB Theo tính chất đường phõn giỏc ta cú: GC AC 0,25 AB ED mà ABC đồng dạng DEC AC DC 0,25 ED AH HD DE song song AH song song với AH DC HC HC GB HD GB HD GB HD 0,25 Do đó: GC HC GB GC AH HC BC AH HC 0,25 5(1điểm) * Ta chứng minh với hai số dương x, y ta luôn có 1 1 1 1 ()(*) Dấu bằng xảy ra khi x = y x y4 x y 0,25 * Áp dụng đẳng thức Côsi : Ta có aa1 1 1 .() b c 2 a 4 2 b c 2 a 4 aa1 0,25 b c 2 a b c 2 a 4 Ấp dụng bất đẳng thức (*)
5. 1 1 1 1 1 () bcaabac 2 ( ) ( ) 4 abac 0,25 a11 a a a a a ( ) ( 1) bca 2 4 abac bca 2 4 abac Tương tự: b11 b b c c c 1 ; 1 cab 2 4 bcab abc 2 4 bcca 13 a a b b c c 0,25 M 3 42 abacabbcacbc 3 Giỏ trị lớn nhất của M là khi a = b = c 2 (Nếu học sinh giải bằng cỏch làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa )