Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Năm học 2010- 2011 môn Toán - Trường THCS Võ Thị Sáu

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Năm học 2010- 2011 môn Toán - Trường THCS Võ Thị Sáu

1. phòng GD và ĐT phù yên Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Trường THCS Võ Thị Sáu lớp 7- năm học 2010- 2011 Môn: Toán Đề chính thức Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tính giá trị biểu thức: (a b)( x y) (a y)(b x) A = abxy(xy ay ab by) 1 3 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 3 2 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < < a9 thì: a a a 1 2 9 3 a3 a6 a9 Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó. Bài 4: Cho 2 biểu thức: 4x 7 3x2 9x 2 A = ; B = x 2 x 3 a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên. Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.
2. phòng GD và ĐT phù yên kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường Trường THCS Võ Thị Sáu lớp 7- năm học 2010- 2011 Môn: Toán Đáp án và thang điểm Điểm Điểm Bài Cách giải TP toàn bài (a b)( x y) (a y)(b x) A = abxy(xy ay ab by) a( x y) b( x y) a(b x) y(b x) = 0,5 abxy(xy ay ab by) ax ay bx by ab ax by xy = 0,5 abxy(xy ay ab by) ay bx ab xy = 0,5 1 abxy(xy ay ab by) 2,5 (xy ay ab by) = abxy(xy ay ab by) 0,25 1 = abxy 0,25 1 3 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 1 0,5 1 3 3 2 ( 2) 1 3 2 Ta có: 0 0 nên ta được: 3 0,5 a3 a6 a9 Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C 0,25 theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC. Theo bài ra ta có: SA 4 SB 7 ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m) 0,5 SB 5 SC 8 Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng. Ta có: SA 4 rA rA rB rA rB 27 3 3 1 4,5 SB 5 rB 4 5 4 5 9 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC 0,25 Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có: SB 7 dB 7dC 7.24 dB = 21 (m) = dA 1 SC 8 dC 8 8 2 Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m ) 0,5
3. 2 SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m ) 0,5 2 SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m ) 0,5 4x 7 4(x 2) 1 1 a) Ta có: A = = 4 0,5 x 2 x 2 x 2 Với x Z thì x - 2 Z. 1 Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1 0,25 x 2 Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1 Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1 0,5 3x2 9x 2 3x(x 3) 2 2 4 +) B = = 3x 0,5 3 x 3 x 3 x 3 Với x Z thì x - 3 Z. 2 Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2 0,25 x 3 Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1. Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 0,5 b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1 0,5 A ABC có AB = AC. GT DB = CE (D tia đối của CB; E tia đối của BC) a) ADE cân H K b) MB = MC, chứng minh AM M 0,5 KL là tia phân giác góc DAE D B C E c) BH  AD = H; CK  AE = K O chứng minh: BH = CK d) AM  BH  CK tại 1 điểm Chứng minh: a) ABC cân có AB = AC nên: Ã C Ã C Suy ra: Ã D Ã CE 0,5 5 Xét ABD và ACE có: 8 AB = AC (gt) Ã D Ã CE (CM trên) DB = CE (gt) Do đó ABD = ACE (c - g - c) 1 AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A. 0,5 b) Xét AMD và AME có: MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do đó AMD = AME (c - c - c) 1 Mã AD Mã AE . Vậy AM là tia phân giác của Dã AE 0,5 c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên ãADE ãAED 0,25 Xét BHD và CKE có:
4. Bã DH Cã EK (Do ãADE ãAED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn) 1 Do đó: BH = CK. 0,5 d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. 0,25 Xét AHO và AKO có: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE )) AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông) 1 Do đó Oã AH Oã AK nên AO là tia phân giác của Kã AH hay AO là tia phân giác của Dã AE . 0,25 Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của Dã AE . Do đó AO  AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau 0,75 tại O.