Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BèNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2018 Đề chớnh thức Mụn thi: TOÁN Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Ngày thi: 18/3/2018 Bài 1. (4,0 điểm) 1. Chứng minh n6 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyờn dương. 2. Cho ba số phõn biệt a, b, c. Đặt: x = a + b + c 2 9ab , y = a + b + c 2 9bc , z = a + b + c 2 9ac Chứng minh rằng: trong ba số x, y, z cú ớt nhất một số dương. Bài 2. (5,0 điểm) 1. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x y 2x + y + 1 9 y 1 13 2. Giải phương trỡnh: x2 x 2018 2018 Bài 3 (4,0 điểm) 1. Cho a, b, c là ba số khụng õm thỏa món điều kiện a 2 + b2 + c2 2 ab + bc + ca và p, q, r là ba số thỏa món p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp 0. 2. Cho cỏc số dương a, b thỏa món điều kiện a.b = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 M = a + b + 1 a 2 + b2 + a + b Bài 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giỏc nhọn ABC cú cỏc đường cao AD, BE, CF và trực tõm là H. a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường trũn đường kớnh AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại Q. Chứng minh tứ giỏc AQDP nội tiếp. 2. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Cỏc điểm D, E theo thứ tự di chuyển trờn cỏc cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xỏc định vị trớ của điểm D và E sao cho: a) DE cú độ dài nhỏ nhất b) Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất.
2. LỜI GIẢI THAM KHẢO Bài 1: 6 4 2 2 2 2 2 1. Ta cú n 2n + n n n 1 n n + 1 n + 2 Lại cú: n n + 1  2; n n 1 n 1  3 (vỡ n N* ) mà (2 ; 3) = 1 nờn n n 1 n 1  6 Đặt A = n n 1 n 1 ta cú A  6 A2  36 Vậy n6 2n4 + n2 chia hết cho 35 với mọi n N* 2. Ta cú: x a + b + c 2 9ab ; y = a + b + c 2 9bc ; z = a + b + c 2 9ac Do đú: x + y + z = 3 a + b + c 2 9 ab + bc + ca 3 a 2 + b2 + c2 6 ab + bc + ca 9 ab + bc + ca = 3 a 2 + b2 + c2 3 ab + bc + ca 3 a 2 + b2 + c2 ab bc ca 3 3 2 2 2 = 2a 2 + 2b2 + 2c2 2ab 2bc 2ca a b + b c + c a 2 2 Vỡ a, b, c phõn biệt nờn a b 2 + b c 2 + c a 2 > 0 x + y + z 0 (1) Giả sử cả ba số x, y, z 0. Từ (1) suy ra vụ lớ Nếu cú 2 số nhỏ hơn 0 hoặc 2 số bằng 0 thỡ thỡ từ (1) suy ra cú ớt nhất 1 số lớn hơn 0 Nếu cú 1 số nhỏ hơn 0 và 1 số bằng 0 thỡ từ (1) suy ra đpcm Bài 2: 1. x y 2x y 1 9 y 1 13 2x2 xy x 2xy y2 y + 9y 9 13 2x2 xy x y2 8y 15 7 2x2 xy 5x 2xy y2 5y 6x 3 7 x 2x + y 5 y 2x + y 5 3 2x + y 5 7 x y 3 2x + y 5 7 Lập bảng: x – y + 3 1 7 - 1 - 7 2x + y – 5 7 1 - 7 - 1 10 10 x - 2 - 2 3 3 16 2 y 2 8 3 3 Loại Loại Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn (x ; y) là (-2 ; 2); (-2 ; 8) 2. Cỏch 1: Điều kiện x 2018 x2 + x + 2018 2018 (1). Đặt t = x 2018 t 0 ta cú t2 = x + 2018 t2 x 2018 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x2 + t t2 x 0 x2 t2 t + x 0 x t 1 x t 0 x + t 0 x t x 1 t 0 x t 1 Với x = –t ta cú: x x 2018 (ĐK 2018 x 0 ) (3) 1 8073 x KTMĐK 2 2 2 PT (3) x = x + 2018 x x 2018 = 0 1 8073 x 2
3. Với x = t – 1 ta cú: x x 2018 1 (ĐK x –1) (4) 1 8069 x 2 2 2 PT (4) x + 2x + 1 = x + 2018 x + x 2017 = 0 1 8069 x KTMĐK 2 1 8073 1 8069  Vậy PT cú tập nghiệm là S ;  2 2  Cỏch 2: Điều kiện x 2018 1 1 x2 + x + 2018 2018 x2 + x + = x 2018 x 2018 4 4 1 1 2 2 x x 2018 x 1 x 2018 1 1 2 2 x x 2018 1 2 2 1 1 x x 2018 x x 2018 2 2 2 1 8069 2 2 x x 1 x 2018 x 1 x + x 2017 0 2 2 x2 x 2018 x 0 x x 2018 0 1 8073 x 2 1 8073 1 8069  Vậy PT cú tập nghiệm là S ;  2 2  Bài 3: 1. Ta cú: p + q + r = 0 r = –p – q. Khi đú: apq + bqr + crp = apq – (p + q)(bq + cp) = cp2 a c b pq bq2 Do đú: apq + bqr + crp 0 cp2 a c b pq + bq2 0 (*) - Nếu c = 0 thỡ a 2 + b2 2ab (vỡ a 2 + b2 + c2 2 ab + bc + ca ) a = b Khi đú: (*) bq2 0 (Bất đẳng thức luụn đỳng với mọi b 0) - Nếu c 0 thỡ c > 0 (vỡ c 0) Khi đú: (*) a c b 2 a c b 2 cp2 a c b pq + bq2 0 cp2 a c b pq + .q2 .q2 bq2 0 4c 4c 2 2 2 a c b a c b 2 4bc a c b 2 c p pq + 2 .q .q 0 c 4c 4c 2 2 ab + bc + ac a 2 b2 c2 a c b 2 c p q .q 0 2c 4c 2 ab + bc + ac a 2 b2 c2 Ta cú: .q2 0 (vỡ a 2 + b2 + c2 2 ab + bc + ca , c > 0) 4c 2 a c b và c p q 0 2c 2 2 ab + bc + ac a 2 b2 c2 a c b 2 Vậy: c p q .q 0 (đỳng với mọi a,b và c > 0) 2c 4c Từ hai trường hợp, ta cú được: apq + bqr + crp 0
4. 2. Ta cú a, b > 0 và a.b = 1; mà a 2 + b2 2ab 2 2 2 4 4 4 M a + b + 1 a + b a + b + 1 2 a + b a + b 2 a + b a + b a + b 4 a + b 2 2 ab 2 2 4 2 2 8 a + b a = b; a, b > 0 Dấu “=” xảy ra khi 2 a = b 1 . Vậy GTNN của M là 8 khi a = b = 1. a + b = 4; a.b = 1 Bài 4: BH BD 1.a) BHD ~ BCE (g.g) = BH.BE = BC.BD (1) BC BE CB CE BEC ~ ADC (g.g) = CB.CD = CE.CA (2) A CA CD 3 Từ (1) và (2) suy ra: BH.BE.CB.CD = CB.BD.CE.CA 1 2 BH.BE.CD = CA.CE.BD I E ã ã 0 Q 2 1.b) Ta cú: AEH = AFH 90 Tứ giỏc AEHF nội tiếp F 1 1 1 K O Ta cú: IE = IF (= AH); JE = JF (= BC) H 2 2 1 à à C IFJ = IEJ (c.c.c) I1 = I2 B 1 D P J à ả à ả 1 Ta cú: I1 = 2A1; I2 = 2A2 (Gúc ở tõm và gúc nội tiếp) ả ả ẳ ẳ à ả ả M Do đú: A1 = A2 MB = MC B1 = A1 A2 ã à ả ả ả ả ả ã ã Ta cú: QDB = B1 + M1 A1 + A3 (vỡ M1 A3 ) QDB = QAP Tứ giỏc APDQ nội tiếp. 2. a) Cỏch 1: Kẻ DH  AB tại D (H thuộc BC); HE’  AC tại E’ B Hã DA = Dã AE' = Hã E'A = 900 Tứ giỏc ADHE’ là hỡnh chữ nhật DH = AE’ H D Ta cú: DB = DH, DB = AE. Do đú: AE = AE’ E trựng với E’ K Kẻ AK  BC AK là đường trung tuyến ABC BC AH AK = : khụng đổi 2 E' BC C Mà AH = DE (vỡ ADHE là hỡnh chữ nhật) DE : khụng đổi A E 2 Vậy DE nhỏ nhất H trựng K D, E là hỡnh chiếu của K trờn AB, AC Khi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC Cỏch 2: Đặt AB = AC = a (a > 0); DB = DH = AE = x AD = a – x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a Ta cú: DE = AD + AE a x + x 2x 2ax + a = 2 x + : khụng đổi 2 2 2 a 2 a 2 DE = : khụng đổi 2 2 a a 2 AB 2 Dấu “=” xảy ra x = . Vậy DE nhỏ nhất là khi D, E lần lượt là trung điểm của 2 2 2 AB và AC a + b 2 Cỏch 3: Áp dụng bất đẳng thức: a 2 + b2 , với a, b > 0 2
5. a + b 2 Thật vậy: a 2 + b2 2 a 2 + b2 a 2 + 2ab b2 a 2 2ab b2 0 2 a b 2 0 (BĐT đỳng). Dấu “=” xảy ra a = b Đặt AB = AC = a: khụng đổi (a > 0) 2 AD + AE AB2 a 2 a 2 a 2 Ta cú: DE2 = AD2 + AE2 DE : khụng đổi 2 2 2 2 2 DB = DA Dấu “=” xảy ra AD = AE D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC EC = EA a 2 AB 2 Vậy DE nhỏ nhất là khi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC 2 2 2b) Cỏch 1: Đặt AB = AC = a (a > 0); DB = DH = AE = x AD = a – x Xột bài toỏn phụ: Cho a, b > 0. Ta luụn cú: a + b 2 4ab a b 2 0 2 1 1 1 2 a S = AD.AE = a x x a x x ADE 2 2 8 8 1 a 2 a 2 a 2 3a 2 S = AB.AC = . Do đú: S S S : khụng đổi ABC 2 2 BDEC ABC ADE 2 8 8 a 3a 2 3AB2 Dấu “=” xảy ra khi a – x = x x = . Vậy tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất là 2 8 8 khi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC Cỏch 2: Đặt AB = AC = a (a > 0); DB = DH = AE = x AD = a – x AB2 AD.AE a 2 x a x Ta cú: S S S BDEC ABC ADE 2 2 2 2 x a x S lớn nhất a – x = x (vỡ tổng x + a – x = a: khụng đổi) BDEC 2 a x = D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC 2 GV: Vừ Mộng Trỡnh – Trường THCS Cỏt Minh – Phự Cỏt – Bỡnh Định