Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Bình Định (Có đáp án)

1. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2015 – 2016 Môn: TOÁN 9 – Ngày thi: 18/03/2016 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (5.0 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Tính tổng T 1 1 1 . 22 3 2 3 2 4 2 2015 2 2016 2 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: y 2 x2 1 y 2 . Bài 2. (3.0 điểm) Cho phương trình x2 ax b 1 0 với a, b là tham số. Tìm giá trị của a, b để x1 x 2 3 phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x, x thỏa mãn điều kiện: . 1 2 3 3 x1 x 2 9 Bài 3. (3.0 điểm) Cho a,, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 9 b 16 c P . b c a a c b a b c Bài 4. (9.0 điểm) 4.1. (5.0 điểm) Cho đường tròn O có đường kính BC 2 R và điểm A thay đổi trên đường tròn O ( A không trùng với BC, ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại điểm KKA . Hạ AH vuông góc với BC . a) Đặt AH x . Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x . Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. AH 3 b) Tính góc B của tam giác ABC biết rằng . HK 5 4.2. (4.0 điểm) Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của một góc nhọn xOy lần 1 2 lượt tại hai điểm MN, nhưng luôn thỏa hệ thức: 1. Chứng tỏ rằng đường thẳng OM ON d luôn đi qua một điểm cố định.  HẾT  Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 1
2. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 ĐÁP ÁN THAM KHẢO Bài 1. (5.0 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Tính tổng T 1 1 1 . 22 3 2 3 2 4 2 2015 2 2016 2 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: y 2 x2 1 y 2 . Lời giải. 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a) Ta thấy: 1 1 2 . a 1 a a 1 2 a2 a 1 a a 1 a 1 1a a 1 1 1 1 a 2. 1 . a 1 2a2 a a 1 a 1 2 a 2 Áp dụng chứng minh trên ta có: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 T 1 1 1 2 3 3 4 2015 2016 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2015 2016 1 1 4061231 2014 . 2 2016 2016 b) Cách 1. Ta có y 2 x2 1 y 2 y 2 x 2 y 2 1 1 . Ta thấy y 2 không phải là nghiệm của phương trình 1 nên y 2 khi đó, ta có: y2 1 y 2 1 2 y 1 1 x 2  0 . y 2 y 2 y 1 Vì x 2 y2 1 y 2 mà y2 2 y  y 2 , suy ra 2y 1  y 2 mà 2y 4  y 2 3 y 2 y 2 3; 1;1;3  y 5; 3; 1;1. Thử lại, ta tìm được các cặp nghiệm cần tìm là: x; y 0; 1 , 0;1 . Cách 2. y 2 x2 1 y 2 y 2 x 2 . y 2 x 2 1 0 1 (Đây là phương trình bậc hai ẩn y ). 2 Ta có x4 8 x 2 4 x 2 4 12 . Theo yêu cầu bài toán x, y nên m2 m . 2 Do đó x2 4 12 m 2 x 2 m 4 x 2 m 4 12 0 Suy ra x2 m 4 ; x2 m 4 cùng dấu và cùng tính chẵn lẻ 1 . Vì k nên x2 m 4 x 2 m 4 mà x2 m 4; x 2 m 4 2 . x2 m 4 2 x 2 0 x 0 x 0 Từ 1 và 2 , suy ra  hoặc . 2 x m 4 6 k 2 y 1 y 1 Thử lại, ta tìm được các cặp nghiệm cần tìm là: x; y 0; 1 , 0;1 . Bài 2. (3.0 điểm) Cho phương trình x2 ax b 1 0 với a, b là tham số. Tìm giá trị của a, b để x1 x 2 3 phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x, x thỏa mãn điều kiện: . 1 2 3 3 x1 x 2 9 Lời giải. 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 a 4 b 1 0 1 . Khi đó, theo định lí VI-ÉT ta có: x1 x 2 a và x1. x 2 b 1 2 . Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 2
3. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Cách 1. x x 3 x x 3 1 2 1 2 x1 x 2 3 2 2 Ta có x x x x 4 x x 1 . x3 x 3 9 x x3 3 x x x x 9 x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a2 1 a 1; b 3 Kết hợp với 2 , ta được . b 1 2 a 1; b 3 Thử lại với điều kiện 1 , ta thấy a; b 1; 3 , 1; 3 là các giá trị thỏa YCBT. 2 2 2 x x 3 x x 9 x1 x 2 4 x 1 x 2 9 1 2 1 2 x1 x 2 1 Cách 2. . x3 x 3 9 2 2 2 1 2 x1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 9 3 x1 x 2 x 1 x 2 9 x1 x 2 2 a2 1 a 1; b 3 Kết hợp với 2 , ta được . b 1 2 a 1; b 3 Thử lại với điều kiện 1 , ta thấy a; b 1; 3 , 1; 3 là các giá trị thỏa YCBT. Bài 3. (3.0 điểm) Cho a,, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a 9 b 16 c P . b c a a c b a b c Lời giải. Đặt 2x b c a ; 2y a c b ; 2z a b c  a y z;; b x z c x y . Vì a,, b c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y , z 0 (Theo t/c: Trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại). yzxz xy yx zx zy Khi đó 2P 4 9 16 4 9 4 16 9 16 . x y z x y x z y z Áp dụng BĐT CAUCHY cho các số dương, ta có: 2PP 12 16 24 52  26 . 4y 9 x 4 z 16 x 9 z 16 y Dấu "" xảy ra khi ; ;  x, y , z 0 6x 4 y 3 z . x y x z y z Vậy GTNN của P là 26 khi 30a 35 b 42 c . Bài 4. (9.0 điểm) 4.1. (5.0 điểm) Cho đường tròn O có đường kính BC 2 R và điểm A thay đổi trên đường tròn O ( A không trùng với BC, ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại điểm KKA . Hạ AH vuông góc với BC . a) Đặt AH x . Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x . Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. AH 3 b) Tính góc B của tam giác ABC biết rằng . HK 5 4.2. (4.0 điểm) Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của một góc nhọn xOy lần 1 2 lượt tại hai điểm MN, nhưng luôn thỏa hệ thức: 1. Chứng tỏ rằng đường thẳng OM ON d luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải. 4.1. a) ● Gọi I là giao điểm của HK và OH . Vì K nằm chính giữa cung tròn BC nên OK BC  OK AH . Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 3
4. Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 IO OK R OH R x Suy ra AHI KOI 1 HI OH . , HI AH x HI x R x R2 x 2 . R x mà OH OK2 AH 2 R 2 x 2 nên HI . x HI. AH OK  Khi đó SSSS AHK AHI HKI 2 R2 x 2 x x R R2 x 2 . x . 2 R x 2 2 2 2 2 R x x R2 R ● Áp dụng BĐT CAUCHY ta có: R2 x 2 . x . Dấu "" xảy ra x . 2 2 2 R2 R  Vậy S đạt giá trị lớn nhất bằng khi x . 4 2 b) ● Ta có HK22222222222 OK OH OK OA AH 2 R AH AH HK 2 R 1 . AH 3 Theo đề 5AH2 3 HK 2 2 . HK 5 R3 OA 3 Từ 1 và 2 suy ra 8AH2 6 R 2  AH . 2 2 ● Mà OAB cân tại O khi đó ta có hai trường hợp có thể xảy ra. - Nếu H nằm trên đoạn thẳng OB thì B 60  . - Nếu H nằm trên đoạn thẳng OC thì B 30  . 4.2. 1 2 1 ● Có 1 1 OM 1. Trên tia Ox lấy điểm D thỏa OM ON OM mãn OD 1 (khi đó D nằm giữa OM, ). ● Qua D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt d tại I . Trên tia Oy lấy điểm E thỏa OE ID . C/m được OEID là hình bình hành. OD OE EI DI IN MI 1OE 1 ● Ta có 1 1. OM ON OM ON MN MN OM ON. OD OD 1 2 OE Khi đó, theo giả thiết thì 1. Do đó 2  OE 2. OD 2  E cố định. OM ON ED Vì ODE,, cố định  I cố định.  Vậy đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Đi rồi sẽ đến " Trang 4