Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 8

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUAN SƠN CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán; Lớp: 8 Số báo danh Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 16 x x 3 2x 2 3x x 1 x : A = 2 3 2 x 4 2 x x 2 x 4x 4x a) Rút gọn A. b) Tìm x để A 0. Câu 2: (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 (x 2 - 7) 2 - 36x b) Chứng minh rằng: B = n 7 - 14n 5 + 49n 3 - 36n luôn chia hết cho 210 với mọi n Z Câu 3 : (4 điểm) 3 2 4 9 a) Giải phương trình sau : x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 b) Cho ba số x,y,z≠ 0 thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị của biểu thức: 2013 xy yz zx 2 P = 2 2 2 z x y Câu 4 : (4 điểm) Cho ABC đều,H là trực tâm, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM; ID cắt EF tại K. a)Chứng minh: DEIF là hình thoi. b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng. Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM. CMR: KD là tia phân giác của góc ·AKC Câu 6 (3 điểm) a) Cho x > 0 ;y> 0.CMR: + b) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + + Hết Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Toán 8
2. Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm ĐKXĐ: x≠ 2; x≠ 0 ;x ≠ 1 0.25đ 16x x2 3 2x x 2 2 3x x 2 x 1 A= x : 2 0.5đ x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 2 0,5đ = x . a x 2 x 2 x 1 (2đ) x x 2 0,25đ = x x 1 3x 3x = 0,25đ x 1 1 x 3x Vậy A = 0,25đ 1 x A 0 0 1 [ 0.25đ [ 0.25đ [vônghiệm Kết hợp với đk x ≠ 0 thì với 0 < x < 1 thì A 0 0,25đ b Có thể xét dấu (2đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 x3 x2 7 36x 2 0.5đ xx2 x2 7 36 xx x2 7 6.x x2 7 6 x x3 7x 6 . x3 7x 6 0.5đ a 3 3 (2đ) x x x 6x 6 x x 6x 6 x x 1 x x 1 6 x 1 x x 1 6 2 2 x x 1 x x 6 x 1 x x 6 0.5đ 2 x x 1 (x 2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 3) 0.5đ Ta có: B= n 7 - 14n 5 + 49n 3 - 36n = n 3 (n 2 - 7) 2 - 36n 0.25đ Theo câu a ta có: 2 B = n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 0.25đ b Do đó: B là tích của 7 số nguyên liên tiếp 0.25đ (1đ) B 2; B 3 ; B 5 ;B 7
3. Mà các số 2;3;5;7 đôi một nguyên tố cùng nhau 0.25đ B (2.3.5.7) hay B  210 Với mọi n Z ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3 0,25đ 3 2 4 9 0,25đ x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 1 1 1 4 1 1 0,25đ x 1 x 4 x 4 x 6 3 x 3 x 6 1 4 1 0,25đ a x 1 3 x 3 3 x 3 4 x 1 x 3 3 x 1 (2đ) 0,25đ 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 4x2 8x 0 0,25đ 4x x 2 0 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện) 0,25đ 0,25đ Vậy tập nghiệm của phương trình: S = { 0;2 } 1 1 1 1 1 1 0 0.25đ x y z x y z 3 3 1 1 1 0.25đ x y z 3 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 x y xy x y z 1 1 1 1 1 3 x3 y3 xy z z3 0.25đ 1 1 1 3 x3 y3 z3 xyz 0,25đ yz xz xy b 2 2 2 3 (2đ) x y z P 3 2 2013 12013 1 Ta có: 0.5đ 2013 xy yz zx P 2 2 2 2 z x y 0,25đ 2013 1 1 1 xyz 2 0,25đ 3 3 3 x y z 2013 3 xyz. 2 xyz 12013 1
4. EMA vuông tại E có EI là đường trung tuyến EI=IM=IA= AM 0.25đ IAE cân tại I EIM = 2 EAI (Góc ngoài của tam giác) Tương tự: MID = 2 IAD và DI = AM 0.25đ A 0.5đ N I a H F K (2đ) E B C M D Suy ra: EI = DI và EID = 600 4 IED đều EI=ED=ID CMTT ta có: IDF đều ID=DF=IF DEIF hình thoi 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ Vì DEIF hình thoi K là trung điểm của EF và ID 0.25đ Gọi N là trung điểm của AH 0,25đ b Do ABC đều có H là trực tâm H là trọng tâm AN=NH=HD (2đ) 0.25đ CM : NI //MH 0.5đ và NI // KH theo tiên đề Ơclit 0.5đ MH  KH hay: M,H,K thẳng hàng 0,25đ A M l K B 5 (2đ) J D N C Kẻ DI AK ; DJ  CK 0.25đ Ta có: SAND = AN.DI = SABCD (1)
5. (do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N ) 0.5đ SCDM = CM.DJ = SABCD (2) (do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M ) Từ (1) và (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ 0.5đ DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK IKD = JKD KD là tia phân giác của AKC 0.25đ 0.25đ 0,25đ Ta có: + (*) 0,25đ (x+y) 2 4xy (vì x > 0 ; y > 0) a 0,25đ (x-y) 2 0 (Đúng) (1đ) 0,25đ Vậy + 0,25đ Từ (*) 0,5đ Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có: 6 1 1 1 1 M ab a2 ab b2 ab a2 b2 1 1 1 1 1 2ab a2 b2 a2 ab b2 ab 2ab 4 4 2 10 0,5đ 10 b a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 0,5đ (2đ) 1 Dấu bằng xảy ra a b 2 0,25đ 1 Vậy Min M = 10 a b 2 0,25đ Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình học mà học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hinh đó.