Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán 6

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán 6

1. ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 Thời gian làm bài 120 phỳt Bài 1(4 điểm): a. Tỡm x; y N biết 2x - 2y = 256 b. Tớnh A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) 2 2 2 c. Tỡm x biết: .462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19 11.13 13.15 19.21 d. Tỡm số nguyờn x, y biết x2y – x + xy = 6 Bài 2(4 điểm): 5 y 1 a. Tỡm x, y  sao cho . x 3 6 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d b. Cho a,b,c,d 0 biết . Tớnh: C 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a c. Cho a, b. c, d  . Biết tớch ab là số liền sau của tớch cd và a + b = c + d. Chứng minh rằng a = b. d. Chứng minh rằng nếu x,y Z thỡ 2x + 3y  17 9x + 5y  17 Bài 3(4 điểm): a. Tỡm số tự nhiờn n để phõn số B = 10n 3 đạt giỏ trị lớn nhất. Tỡm 4n 10 giỏ trị lớn nhất đú. b. Cho cỏc phõn số 35 và 28 . Tỡm phõn số nhỏ nhất mà khi chia cho mỗi phõn 396 297 số đú ta được một số nguyờn ? Bài 4(2 điểm): Cho gúc bẹt xOy, trờn tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trờn tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1cm; OB = 4cm. a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa hai điểm O và B; điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tảOy 1300 , zãOy 300 . Tớnh số đo tảOz ? Bài 5(4 điểm): Cho gúc xOy = 1200.Trong gúc xOy vẽ tia Oz sao cho xã Oz > 2.zãOy Vẽ tia phõn giỏc Ot của xã Oz và tia phõn giỏc Om của tảOy a. Hỏi trong ba tia Ot, Om, Oz tia nào nằm giữa hai tia cũn lại b. Cho zãOy = 300 tớnh mã Oz 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài 6(2 điểm): Cho A 1 ,B 1 . 2 3 4 4026 3 5 7 4025 A 2013 So sỏnh với 1 . B 2014
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 6 ( Một số bài khú) Năm học 2015 -2016. Bài Nội dung Điểm Bài 1 Tỡm x; y N biết 2x - 2y = 256 (4 đ) Vỡ 256 > 0 => x > y 2x - 2y = 256  2y( 2x-y -1) = 256 = 28 2 y( 2x-y -1) = 28 vỡ 2x-y -1 lẻ => 2x-y -1 = 1 => 2x-y = 2 => x – y =1 => y = 8 và x = 9 b) x2y – x + xy = 6  (xy – 1)(x + 1) = 5 = 1.5 = (-1)(-5) Xột 4 trường hợp và kết luận (x;y) = (-2;2), (-4;0). 5 y 1 5 y 1 2y 1 Bài 2 a) 0,5đ (5đ) x 3 6 x 3 6 6 x(2y 1) 30 , mà 2y + 1 là số lẻ nờn 2y + 1 là ước lẻ của 30. 1,0đ Lập bảng tỡm được x, y. Vậy cú 8 cặp (x, y) thỏa món đề bài là (2; 7), (-2; -8), (6; 2), (-6; -3), (10; 1), (-10; -2), (30; 0), (-30; -1). 1,5đ b) Ta cú: a + b = c + d d = a + b – c. 0,5đ Vỡ ab là số liền sau của cd nờn ab – cd = 1. 0,5đ Suy ra: ab – c(a + b – c) = 1 0,5đ ab – ac – bc + c2 = 1 a(b – c) – c (b – c) = 1 (b – c)(a – c) = 1 a – c = b – c (vỡ cựng bằng 1 hoặc – 1) a = b (đpcm). 0,5đ d. Chứng minh rằng nếu x,y Z thỡ 2x + 3y  17 9x + 5y  17 Từ 9x + 5y  17 => 4(9x + 5y)  17 => 34x+17y +2x+3y  17 10n 3 5(2n 5) 22 5 11 Bài 3 B = = . 0,5đ (2đ) 4n 10 2(2n 5) 2 2n 5 B đạt GTLN khi 11 đạt GTLN. Vỡ 11 > 0 và khụng đổi nờn 11 2n 5 2n 5 đạt GTLN khi 2n – 5 > 0 và đạt GTNN. Suy ra 2n – 5 = 1 n = 3. 1,0đ Vậy B đạt GTLN là 5 + 11 = 13,5 khi n = 3. 2 0,5đ Bài 4 x 0,25đ Gọi phõn số phải tỡm là (x, y Ơ và (x, y) = 1) (4đ) y 0,5đ x 35 396x x 28 297x Ta cú: : ; : y 396 35y y 297 28y 0,5đ Vỡ kết quả là một số nguyờn nờn 396x  35y và 297x  28y 0,5đ Mà (396; 35) = 1 ; (297; 28) = 1 và (x; y) = 1 0,5đ 396  y và 297  y ; x 35 và x  28 0,5đ Để x nhỏ nhất khi x nhỏ nhất và y lớn nhất. Do đú: y x = BCNN(35; 28) = 140 y = ƯCLN(396; 297) = 99 1,0đ
3. Vậy phõn số phải tỡm là 140 . 99 0,25đ Bài 5 a) Trờn tia Oy cú OM < OB (vỡ 1cm < 4cm) nờn M nằm giữa O và B 0,5đ (5đ) OM + MB = OB MB = OB – OM = 3cm (1) 0,25đ Vỡ Ox, Oy đối nhau mà A Ox, M Oy nờn O nằm giữa A và M 0,5đ AM = AO + OM = 3cm (2) 0,25đ Từ (1) và (2) suy ra MB = MA = 3cm hay M là trung điểm của AB. 0,5đ b) TH1: Ot và Oz cựng nằm trờn nửa mặt phẳng bờ xy: tảOz 1000 1,5đ TH2: Ot và Oz nằm về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy: tảOz 1600 1,5đ 1 1 1 1 6)(2,0đ) Đặt C A B 0,25 2 4 6 4026 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cú B 1 1 C (1) 3 5 7 4025 4 6 4026 2 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 C 2 2 22 2 2 4 6 4026 0,5 Lại cú 2013sohang 1 C (2) 2 2013 C Từ (1) và (2) suy ra B C 2013B 2014C 0,25 2013 C 2013 C B 2013 A 2013 Do đú: 1 1 B 2014 B 2014 B 2014 0,5