Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi cấp huyện năm học 2017 - 2018 môn Toán 7

Nội dung text: Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi cấp huyện năm học 2017 - 2018 môn Toán 7

1. ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán 7 (Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1: (4,5 điểm) a, Thực hiện phép tính: 212.35 - 46.92 510.73 - 255.492 A 6 - 3 22.3 +84.35 125.7 + 59.143 b, So sánh: 17 + 26 +1 và 99 1 1 1 1 1 c, Chứng minh: + + + + + >10 . 1 2 3 99 100 Bài 2 : (4,5 điểm) a, Tính giá trị của biểu thức C = 2x5 – 5y3 + 2017 tại x, y thỏa mãn: x -1 + (y + 2)20 = 0 b, Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. c, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10 Bài 3: (3,0 điểm) 1 a, Chứng minh rằng ba đơn thức - x3y4 ; - x4 y3; 2xy không thể cùng có 2 giá trị âm. 2 b, Tìm nghiệm của đa thức Q(x) = x + 6x - 7 Bài 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB > AC ), M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua M vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F . Chứng minh : a, EH = HF b, 2B· ME = A· CB- Bµ FE2 c, + AH2 = AE2 4 d, BE = CF Bài 5 : (1,5 điểm) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh a b c + + < 2 b + c c + a a + b Hết
2. ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 0,5 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 1a) 212.35. 3 1 59.73. 1 23 1,5 đ 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 0,5 1 10 7 6 3 2 Ta có: 17 16; 26 25 => 17 26 1 > 16 25 1 4 5 1 10 0,5 1b) Mà 10 = 100 99 0,5 1,5đ Vậy: 17 26 1 > 99 . 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ; ; ; ; 0,5 1 100 2 100 3 100 99 100 1c) 1 1 1 1 1 Suy ra: 100. 10 0,5 1,5đ 1 2 3 100 100 1 1 1 1 Vậy: 10 0,5 1 2 3 100 Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 x 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y. Kết hợp x 1 + (y + 2)20 = 0 suy ra x 1 = 0 và (y + 2)20 = 0 0,5 đ 2a) x = 1; y = - 2. 1,0đ 5 3 Giá trị của biểu thức :C=2x – 5y + 2017 tại x = 1; y = - 2 0,5đ là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2017 = 2 + 40 + 2017 = 2059 Vậy C=2059 Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, 0,5 đ b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x Ta có: a ;b ;c (1) 0,5đ 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: , , , , , , 2b) a b c a b c x , 4x , 5x x , 6x a ;b ;c (2) 2,0đ 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn 0,5đ lúc đầu 6x 7x x Vây: c’ – c = 4 hay 4 4 x 360 15 18 90 0,5đ Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
3. 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n 0,5đ =3n (32 1) 2n (22 1) 2c) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 0,5đ 1,5đ = 10( 3n -2n-1) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5đ Giả sử cả 3 đơn thức cùng có giá trị âm 0,5đ Þ tích của 3 đơn thức có giá trị âm (1) 1 3 4 4 3 1 3 4 4 3 8 8 Mặt khác: x y x y 2xy . 1 .2. x .x .x y .y .y x y 0,5đ 2 2 3a) 8 8 1 3 4 4 3 1,5đ Vì x y 0  x; y nên x y x y . 2xy 0  x; y (2) 2 Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) Þ điều giả sử sai. 0,5đ 1 Vậy ba đơn thức x3y4 ; x4y3;2xy không thể cùng có giá trị âm. 2 2 3b) Cho Q(x) x 6x 7 0 1,5đ 1,5đ Tìm được hai nghiệm x=1 và x=-7 A 4) E 0,5đ 0,5đ 1 B M C H D F 4a) C/m được AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 1.5đ 1,5đ µ µ Từ AEH AFH Suy ra E1 F Xét CMF có ·ACB là góc ngoài suy ra C· MF ·ACB Fµ 4b) BME có Eµ là góc ngoài suy ra B· ME Eµ Bµ 1.5đ 1,5đ 1 1 · · · µ µ µ vậy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2B· ME ·ACB Bµ (đpcm). Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 4c) FE 2 1.5đ 1,5đ ta có HF2 + HA2 = AF2 hay AH 2 AE 2 (đpcm) 4 Từ AHE AHF(g c g) Suy ra AE = AF và Eµ Fµ 4d) 1 0,5đ 1,5đ Từ C vẽ CD // AB ( D EF )
4. C/m được BME CMD(g c g) BE CD (1) 0,5đ µ · và có E1 CDF (cặp góc đồng vị) do do đó C· DF Fµ CDF cân CF = CD ( 2) 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra BE = CF a a a a Vì a b c nên 1 . (1) b c b c b c a 0,5đ b b b b Tương tự, ta có: 1 . (2) 5 c a c a c a b 0,5đ 1,5đ c c c c 1 . (3) a b a b a b c 0,5đ a b c 2a 2b 2c Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2. b c c a a b a b c