Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn: Toán khối 7

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi - Môn: Toán khối 7

1. Phòng Giáo dục và đào tạo Đề khảo sát học sigiỏi Huyện kiến xương Môn : Toán 7 (Thời gian làm bài 120phút ) Bài 1(4 điểm) Thực hiện phép tính: 3 1 1 -1 a) A 6. - 3 - 1 : 1 3 3 3 1 1 1 - - b) B 39 6 51 :5,1 6 1 1 1 - 8 52 68 Bài 2 (5 điểm) Cho hai đa thức: A(x) = x5 - 2x3 + 3x4 - 9x2 + 11x - 6 B(x) = 3x4 + x5 - 2(x3 + 4) - 10x2 + 9x a) Tớnh C(x) = A(x) - B(x) b) Tỡm x để C(x) = 2x + 2 c) Chứng tỏ rằng C(x) khụng thể nhận giỏ trị bằng 2012 với mọi xZ. Bài 3 (4 điểm) a c b a3 + c3 - b3 a 1) Cho . Chứng minh rằng: c b d c3 + b3 - d3 d 2) Tỡm số nguyờn x, y, biết: 42 - 3 y - 3 = 4(2012 - x)4 Bài 4 (5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC. a) Chứng minh BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh ADE = CAN AD2 IE2 c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh 1 DI2 AE2 Bài 5 (2 điểm) Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là BC = a, AC = b, AB = c thoả món: a2 + b2 > 5c2. Chứng minh rằng Cà 600 Họ và tên thí sinh: SBD:
2. Phòng Giáo dục - đào tạo Đáp án và biểu điểm Huyện kiến xương Để khảo sát học sinh giỏi Bài 1(4 điểm) Thực hiện phép tính: 1 1 1 3 - - 1 1 -1 39 6 51 a) A 6. - 3 - 1 : 1 b) B :5,1 6 3 3 3 1 1 1 - 8 52 68 Đáp án Điểm 3 1 1 -1 A 6. - 3 - 1 : 1 3 3 3 2 4 1 = 2 : a 3 3 (2đ) 4 4 1 = : = -1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 - - + 39 6 51 3 2 13 17 1 B :5,1 6 : 5 1 1 1 1 1 1 1 1 6 b - - (2đ) 8 52 68 4 2 13 17 4 31 8 : 3 6 31 1 Bài 2 (5 điểm) Cho hai đa thức: A(x) = x5 - 2x3 + 3x4 - 9x2 + 11x - 6 B(x) = 3x4 + x5 - 2(x3 + 4) - 10x2 + 9x a) Tớnh C(x) = A(x) - B(x) b) Tỡm x để C(x) = 2x + 2 c) Chứng tỏ rằng C(x) khụng thể nhận giỏ trị bằng 2012 với mọi xZ Đáp án Điểm Ta cú: A(x) = x5 + 3x4 - 2x3 - 9x2 + 11x - 6 a B(x) = x5 + 3x4 - 2x3 - 10x2 + 9x - 8 (2đ) C(x) = A(x) - B(x) = x2 + 2x + 2 1 Vậy: C(x) = x2 + 2x + 2 1 C(x) = 2x + 2 x2 + 2x + 2 = 2x + 2 0,5 b x2 + 2x + 2 - 2x - 2 = 0 (1,5đ) x2 = 0 x = 0 0,5 Vậy để C(x) = 2x + 2 thỡ x = 0 0,5
3. Giả sử C(x) = 2012 x2 + 2x + 2 = 2012 x2 + 2x = 2010 x(x + 2) = 2010 c Với x Z, do 2010 là số chẵn nờn x(x + 2) là số chẵn x hoặc x + 2 0.5 (1.5đ) là số chẵn Mà x và x + 2 hơn kộm nhau 2 đơn vị nờn chỳng cựng là số chẵn. x(x + 2) 4. 0.5 Nhưng 2010 khụng chia hết cho 4 C(x) 2012 Vậy C(x) khụng thể nhận giỏ trị bằng 2012 với mọi x Z. 0.5 Bài 3 (4 điểm) a c b a3 + c3 - b3 a a) Cho . Chứng minh rằng: c b d c3 + b3 - d3 d b) Tỡm số nguyờn x, y, biết: 42 - 3 y - 3 = 4(2012 - x)4 Đáp án Điểm a c b a3 c3 b3 a Từ 3 3 3 c b d c b d d 1 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a a3 c3 b3 a a3 c3 b3 0,5 (2đ) c3 b3 d3 d c3 b3 d3 a3 + c3 - b3 a 0, 5 Vậy c3 + b3 - d3 d 42 - 3 y -3 = 4(2012 - x)4 42 = 3 y -3 + 4(2012 - x)4 0,5 4 Do 3 y -3 0 với mọi giá trị của y nên 4(2012 - x) 42 0,5 (2012 - x)4 <11< 24 2012 - x = 0 hoặc 2012 - x = 1 (vì 2012 - x là số nguyên (do x nguyên)) b * Nếu 2012 - x = 1 x = 2012 hoặc x = 2013 và 38 = 3 y -3 0,5 (2đ) y -3 = 38/3 (không có giá trị của y thoả mãn vì y nguyên) * 2012 - x = 0 x = 2012 và 42 = 3 y -3 y -3 = 14 y = 17 hoặc y = -11 0,5 Vậy cặp số (x,y) = (2012; 17); (2012; -11) Bài 4 (5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC. a) Chứng minh BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh ADE = CAN AD2 IE2 c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh 1 DI2 AE2
4. Đáp án Điểm A E I D B M C 0,5 N a +Chứng minh được ABD = AEC ( c. g.c) 1,0 (2đ) BD = EC ( 2 cạnh tương ứng) 0,5 +Chứng minh được CMN = BMA ( c. g.c) 0,5 0,5 CN = AB và Ã BC Nã CM b Có Dã AE Dã AC Bã AE Bã AC 900 900 Bã AC 1800 Bã AC (1) (2đ) Ã CN Ã CM Mã CN Ã CB Ã BC 1800 Bã AC (2) 0,5 Từ (1) và (2) Dã AE Ã CN 0,5 +Chứng minh được ADE = CAN ( c. g.c) ADE = CAN ( cmt) Ã DE Cã AN (2 góc tương ứng) Mà Dã A N Cã AN 900 Dã AN Ã DE 900 hay Dã A AII Aã DEDI 900 0,5 c ã 0 (1đ) áp dụng định lí Py- ta-go cho AID (AID 90 ) và AIE ( Ã IE 900 ) có: AD2 - DI2 = AE2 - EI2 (=AI2) AD2 + EI2 = AE2 + DI2 AD2 IE2 0,5 1 DI2 AE2 Bài 5 (2 điểm) Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là BC = a, AC = b, AB = c thoả món: a2 + b2 > 5c2. Chứng minh rằng Cà 600 Đáp án Điểm Giar sử c a > 0 c2 a2 . Mà a2 + b2 > 5c2 a2 + b2 > 5a2 b2 > 4a2 b > 2a (1) Vỡ c2 a2 c2 + b2 a2 + b2 > 5c2 b2 > 4c2 b > 2c (2) Từ (1) và (2) suy ra 2b > 2a + 2c b > a + c, vụ lớ. Vậy c < a Lập luận tương tự ta được c < b. Từ đú suy ra c là độ dài cạnh nhỏ nhất Cà là gúc nhỏ nhất. Cà < À ; Cà < Bà 3Cà < À + Bà + Cà = 1800 Cà 600 . Vậy: Cà 600 Chú ýHS giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài 4 chỉ nêu trình tự các bước chứng minh, trong trình bày HS phải có hình vẽ đúng và lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa. Hình vẽ sai hoặc không có hình không cho điểm.