Đề khảo sát chất lượng - Môn Toán học lớp 9

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng - Môn Toán học lớp 9

1. TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN– LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài I ( 2 điểm) x 1 7 x 3 2 x Cho hai biểu thức: A = và B= (với x ≥ 0, ≠ 9) x 3 x 9 x 3 1) Tính giá trị của B khi x = 4 2) Rút gọn biểu thức S = A+ B 3) Tìm x để S nhận giá trị nguyên lớn nhất Bài II ( 2 điểm ) 1) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. 2) Chiếc nón do làng Chuông sản xuất là hình nón có đường sinh bằng 30cm, đường kính đáy bằng 40cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón. Tính diện tích lá cần dùng cho một chiếc nón ( lấy ≈ 3,14 ). Bài III ( 2,0 điểm ) 1) Giải phương trình: (x-2)4 - 3(x-2)2 - 4= 0 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m +1. Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm A và B đến trục tung bằng 3 Bài IV (3,5 điểm ) Cho đường tròn (O;R ) đường kính AB , C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM ( K khác B,M) H là giao điểm của AK và MN 1) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp 2) Tính tích AH.AK theo R 3) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của của KA và KN với MB, chứng minh MP BM PQ BQ 4) Xác định giá trị của điểm K để KM +KN +KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R Bài V (0,5 điểm) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x - x y + x + y - y + 1 Hết
2. Bài Ý Đáp án Điểm 1) x 1 7 x 3 2 x Cho hai biểu thức: A = và B= x 3 x 9 x 3 (với x 0 , x 9) Tính giá trị của B khi x = 4 Thay x = 4( t/m ĐKXĐ ta có) 0,25 điểm B= 2 x x 3 2 4 4 = 4 3 5 0,25 điểm 2) Rút gọn biểu thức S = A+ B x 1 7 x 3 2 x S= A + B = + x 3 x 9 x 3 Bài I ( x 1).( x 3) 7 x 3 2 x.( x 3) = + ( 2 điểm) ( x 3).( x 3) ( x 3).( x 3) ( x 3).( x 3) 0,25 điểm x 4 x 3 7 x 3 2x 6 x = ( x 3).( x 3) 0,25 điểm 3x 9 x = ( x 3).( x 3) 3 x( x 3) = 0,25 điểm ( x 3).( x 3) = 3 x 0,25 điểm x 3 3 x Vậy S = với x 0 , x 9 x 3 3) Tìm x để S nhận giá trị nguyên lớn nhất 3 x 3( x 3) 9 9 Ta có S = = 3 x 3 x 3 x 3 9 9 Vì x 0 x 3 0 0 x 3 0 0 x 3 x 3 0,25 điểm 9 3 - 3 S < 3 x 3 3 x Mặt khác với x 0 3x 0 0 S 0 x 3 0 S 3 . Để S nhận giá trị nguyên lớn nhất thì S = 2 0,25 điểm 3 x 2 3 x 2 x 6 x 6 x 36 ( thỏa mãn) x 3 Vậy để S nhận giá trị nguyên lớn nhất thì x = 36
3. Bài II 1) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi (2 điểm) dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là x ( km/h) . Điều kiện: x 2 0,25 điểm Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là x + 2 (km/h) Vận tốc của tàu khi ngược dòng là x - 2 ( km/h) 48 Thời gian tàu xuôi dòng là x 2 (km/h) 60 0,25 điểm Thời gian tàu ngược dòng là x 2 (km/h) Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình: 60 48 0,25 điểm x 2 - x 2 =1 60. (x + 2) – 48. (x – 2) = ( x – 2).( x +2) 60 x + 120 – 48 x + 96 = x2 - 4 12x + 216 = x2 - 4 x2 – 4 – 12x – 216 = 0 0,25 điểm x2 – 12x – 220 = 0 62 - (- 220) = 256 256 16 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 6 16 22 x1 = 22 ( thỏa mãn) 1 1 6 16 10 x2 = 10 ( loại) 1 1 Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 (km/h) 2) Chiếc nón do làng Chuông sản xuất là hình nón có đường sinh bằng 30cm, đường kính đáy bằng 40cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung Bán kính đáy của chiếc nón là: 40: 2= 20 (cm) Diện tích xung quanh của hình nón là: S = .R .l = .30 .20= 600 (cm2 ) Vì phải dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón nên diện tích lá phải dùng là: 2. 600 = 1200 (cm2 ) Bài III 1) Giải phương trình: (x-2)4 - 3(x-2)2 - 4= 0 Đặt t = (x – 2)2, t 0 phương trình trở thành: (2,0 điểm) t2 – 3t – 4= 0
4. Vì a – b + c = 1- ( -3) + ( -4) =0 nên phương trình có hai nghiệm t1 = -1( loại) ; t2 = 4( thỏa mãn) Với t = 4 ta có: (x – 2)2 = 4 x – 2 = 2 x = 4 Hoặc x -2 = -2 x = 0 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0;4 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx – m +1. Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm A và B đến trục tung bằng 3 Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x2 = mx – m + 1 (1) x2 - mx + m – 1 = 0 Cách 1: = b2 – 4a.c = (-m)2 – 4. 1. ( m -1) = m2 – 4m + 4 = (m – 2 )2 Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt > 0 ( m -2)2 > 0 m -2 0 m 2 Vậy m 2 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Giả sử A(x1, y1) và B(x2, y2) Khoảng cách từ A đên trục tung là x1 Khoảng cách từ A đên trục tung là x2 Theo định lí Vi – ét ta có: x1 x2 m x1.x2 m 1 Để cho tổng khoảng cách từ hai điểm A và B đến trục tung bằng 3 thì x1 + x2 = 3 2 2 x1 2. x1.x2 x2 + 2x1 .x2 - 2x1 .x2 = 9 2 (x1+x2) +2. x1.x2 - 2x1 .x2 = 9 m2 +2.m 1 - 2( m-1) = 9 (2) TH1: Nếu m-1 0 m 1 thì .m 1 m 1 Phương trình (2) trở thành: m2 + 2( m -1) – 2.(m-1) = 9 m2 = 9 m= 3 (thỏa mãn) hoặc m = -3 (loại)
5. TH2: Nếu m -1 < 0 m < 1thì .m 1 1 m Phương trình (2) trở thành: m2 + 2(1-m) – 2.(m-1) = 9 m2 + 2 – 2m – 2m + 2 = 9 m2 - 4m - 5 = 0 Có a – b + c = 1 - (-4) + (-5) = 0 m= -1(thỏa mãn) hoặc m = (loại) Vậy m= -1 hoặc m= 3 Cách 2: Vì phương trình x2 - mx + m – 1 = 0 có a + b + c = 1 + (-m) + m -1= 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = m-1 Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt ⟺ m-1 1 m 2 Vậy m 2 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Giả sử A(x1, y1) và B(x2, y2) Khoảng cách từ A đên trục tung là x1 Khoảng cách từ A đên trục tung là x2 Để cho tổng khoảng cách từ hai điểm A và B đến trục tung bằng 3 thì x1 + x2 = 3 Do vai trò của x1; x2 là như nhau nên x1 + x2 = 3 1 + m 1 = 3 m 1 =2 m 1 2 m 1 2 m 3(t / m) m 1(t / m) Vậy m= -1 hoặc m= 3 Bài IV 1) Cho đường tròn (O; R ) đường kính AB, C là trung điểm (3,5 điểm ) của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM ( K khác B, M) H là giao điểm của AK và MN Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Vẽ hình đúng đến hết phần a
6. Xét tứ giác BCHK có: = 900( MN ⊥ AB) 퐾 = 900( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⟹ + 퐾 = 900 + 900= 1800 Mà , 퐾 là hai này ở vị trí đối nhau ⟹ tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp 2) Tính tích AH.AK theo R Ta có: AB  MN tại C Xét ∆ 푣 ô푛 và ∆ 푣 ô푛 퐾 A là điểm chính giữa của cung MN cung AM = cung AN ( tính chất đường kính vuông góc với dây cung) 1 Xét (O ) có: = Sđ cung AM 2 1 sđ cung AN = 2 ĐK: y > 0 ; x R. Ta có: P = x2 - x y + x + y - y + 1 2 y 1 3y y 3 = x2 - x( y - 1) + + - + 4 4 2 4 - 1 2 2 x = y 1 3 1 2 2 3 x - y . Dấu “=” xảy ra . 2 4 3 3 3 1 y = 9
7. 2 Suy ra: Min P = . 3