Đề giao lưu học sinh giỏi năm học 2017 – 2018 môn thi Toán - Lớp 7 - Trường THCS Nguyễn Chích

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi năm học 2017 – 2018 môn thi Toán - Lớp 7 - Trường THCS Nguyễn Chích

1. PHềNG GD&ĐT ĐễNG SƠN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn thi: Toỏn - Lớp 7 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Gồm cú 01 trang) Cõu 1: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tớnh giỏ trị biểu thức A = 2 3,5 : 4 2 +7,5 3 6 7 2.84.272 4.69 b) Rỳt gọn biểu thức B = 27.67 27.40.94 c) Tìm đa thức M biết rằng : M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 . Tớnh giỏ trị của M khi x, y thỏa món . 2x 5 2018 3y 4 2020 0 Cõu 2(4,0 điểm): Tỡm x biết 15 3 6 1 a) x x 12 7 5 2 1 1 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99 c) Tỡm x, y nguyờn biết 2xy – x – y = 2 Cõu 3(6,0 điểm): a) Tỡm hai số nguyờn dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tớch của chỳng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12. x y z t b) Cho y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x chứng minh rằng biểu thức P có giá trị nguyên. z t t x x y y z c) Cho a,b,c,d Z thỏa món a3 b3 2 c3 8d3 .Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Cõu 4(5,0 điểm): Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB = 25o . Tớnh HEM và BME Cõu 5 (1,0 điểm): 3 8 15 24 2499 Cho B = . Chứng tỏ B khụng phải là số nguyờn. 4 9 16 25 2500 Hết Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. PHềNG GD&ĐT ĐễNG SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH NĂM HỌC 2016-2017 Mụn: Toỏn - Lớp 7 Cõu Nội dung Điểm 1 1 1 7 7 25 15 15 0.5 a) A = 2 3,5 : 4 2 +7,5 = : + 3 6 7 3 2 6 7 2 35 85 15 35 42 15 49 15 157 = : = . = + = 6 42 2 6 85 2 17 2 34 0.5 3 4 3 2 2 9 9 13 6 11 9 1.0 2.84.272 4.69 2. 2 . 3 2 .2 .3 2 .3 2 .3 b) B = 7 7 7 4 = 4 = 14 7 10 8 2 .6 2 .40.9 27.27.37 27.23.5. 32 2 .3 2 .3 .5 11 6 2 3 2 .3 . 2 3 2 = = 210.37. 24 3.5 3 0.5 2 2 2 2 2 2 1 c) M 5x 2xy 6x 9xy y M 6x 9xy y 5x 2xy (4.0đ) 2 2 2 2 2 M 6x 9xy y 5x 2xy x 11xy y 0.5 2018 2x 5 0 2018 2020 Ta có : 2x 5 3y 4 0 2020 0.25 3y 4 0 2018 2020 2018 2020 0.25 Mà 2x 5 3y 4 0 2x 5 3y 4 0 5 2018 x 2x 5 0 2 0.25 . Thay vào ta được 2020 4 3y 4 0 y 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 0.25 M = + 11. . - = - - = 2 2 3 3 4 3 9 36 15 3 6 1 6 5 3 1 0.5đ a) x x x x 12 7 5 2 5 4 7 2 6 5 13 49 13 130 130 ( )x x x , Vậy x 0.5đ 5 4 14 20 14 343 343 1 1 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99 1 1 1 1 1 1 1 49 2 1 0.25 (4.0đ) 2 3 3 5 5 2x 1 2x 1 99 1 1 49 1 98 1 1 1 1 0.75 2 2x 1 99 2x 1 99 2x 1 99 2x + 1 = 99 2x = 98 x = 49. Vậy x = 49 0.5 c) 2xy – x – y = 2 4xy - 2x - 2y = 4 2x(2y - 1) - 2y +1 = 5 (2y -1) ( 2x -1) = 5 0.75 HS xột 4 trường hợp tỡm ra ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  0.75
3. a) Do tổng, hiệu và tớch của x và y lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12. Ta cú ( x + y).35 = ( x - y) .210 = 12. xy 0,5 x y x y x y x y 2x 2y Từ ( x + y).35 = ( x - y) .210 0,5 210 35 210 35 245 175 x y 7y x thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12. xy ta được 7 5 5 0,5 y2- 5y = 0 y(y – 5) = 0 y 0;5 mà y > 0 nờn y = 5  0,5 Với y = 5 thỡ x = 7. b) x y z t y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z x y z t y z t z t x t x y x y z 1 1 1 1 0,75 3 x y z t (6.0đ) x y z t z t x y t x y z x y z t 0,5 x y z t Nếu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4 Nếu x + y + z + t 0 thỡ x = y = z = t P = 4 0,75 Vậy P nguyờn c) Ta cú a3 b3 2 c3 8d3 a3 b3 c3 d3 3c3 15d3 Mà 3c3 15d33 nờn a3 b3 c3 d33 (1) 0.75 Dư trong phộp chia a cho 3 là 0; 1 suy ra dư trong phộp chia a3 cho 3 cũng là 3 0; 1 hay a  a mod3 0.5 Tương tự ta cú b  b3 mod3 ; c  c3 mod3 ; d  d 3 mod3 a b c d  a3 b3 c3 d 3 mod3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 0.75 Vẽ hỡnh ; ghi GT-KL A 0,5 I M C 4 B H (5,0đ) K E a) X a) Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt ) ãAMC = Eã MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) 1,0 Vỡ AMC = EMB Mã AC = Mã EB nà 2 gúc này ở vị trớ so le trong Suy ra AC // BE . 0,5 b) Xột AMI và EMK cú : AM = EM (gt )
4. Mã AI = Mã EK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) 1,0 Nờn AMI EMK ( c.g.c ) ãAMI = Eã MK Mà ãAMI + IãME = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự ) Eã MK + IãME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 c) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà = 90o ) cú Hã BE = 50o Hã BE = 90o - Hã BE = 90o - 50o = 40o Hã EM = Hã EB - Mã EB = 40o - 25o =15o 1,0 Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM ã ã ã o o o BME =HEM + MHE =15 + 90 = 105 0,5 3 8 15 24 2499 b) Ta cú: B = 4 9 16 25 2500 3 8 15 24 2499 B= 49 1 1 1 1 1 4 9 16 25 2500 1 1 1 1 1 B= 49 - 2 2 2 2 2 = 49 - M 2 3 4 5 50 1 1 1 1 1 Trong đú M = 2 2 2 2 2 5 2 3 4 5 50 (1,0đ) 0.5 Áp dụng tớnh chất Ta cú: M M > > 0 0.5 Từ đú suy ra 0< M <1 B = 49- M khụng phải là một số nguyờn. Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn.